2011 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（3分）（2011•山东）设集合 $M=\left\{x \mid x^{2}+x-6<0\right\}, N=\{x \mid 1 \leq x \leq 3\}$ ，则 $M \cap N=$
A $[1,2)$
B $[1,2]$
C $(2,3]$
D $[2,3]$

2．（3分）（2011．山东）复数 $z=\frac{2-i}{1+i}$（ $i$ 是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为 ）
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限

3．（3分）（2011 • 山东）若点 $(a, 9)$ 在函数 $y=3^{x}$ 的图象上，则 $\tan \frac{a \pi}{6}$ 的值为
A 0
B $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C 1
D $\sqrt{3}$
．
． $\mathrm{D} \sqrt{3}$ ．
－ － －

4．（3分）（2011 • 山东）不等式 $|\mathrm{x}-5|+|\mathrm{x}+3| \geq 10$ 的解集是
A $[-5,7]$
B $[-4,6]$
C $(-\infty,-5] \cup[\mathrm{D}$
$(-\infty,-4] \cup[$ ．
7, $+\infty$ )
. $6,+\infty$ )

5．（3分）（2011•山东）对于函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}), ~ \mathrm{x} \in \mathrm{R}, " \mathrm{y}=|\mathrm{f}(\mathrm{x})|$ 的图象关于 y 轴对称＂是＂ $\mathrm{y}= f(x)$ 是奇函数＂的
A 充分而不必要
B 必要而不充分

- 条件
- 条件

C 充要条件
D 既不充分也不
－
－必要条件

6．（3分）（2011 • 山东）若函数 $f(x)=\sin \omega x(\omega>0)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ 上单调递增，在区间 $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递减，则 $\omega=$
A 8
B 2
C $\frac{3}{2}$
D $\frac{2}{3}$

7．（3分）（2011•山东）某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表

根据上表可得回归方程 $\widehat{y}=\widehat{\mathrm{b}} x+\widehat{\mathrm{a}}$ 的 $\widehat{\mathrm{b}}$ 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A 63.6 万元
B 65.5 万元
C 67.7 万元
D 72.0 万元

8．（3分）（2011•山东）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线均和圆C： $x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$ 相切，且双曲线的右焦点为圆 $C$ 的圆心，则该双曲线的方程为（）
A $\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$
－$\frac{x^{2}}{4^{2}}-\frac{y^{2}}{5^{2}}=1$
C $\frac{x^{2}}{3^{2}}-\frac{y^{2}}{6^{2}}=1$
－$\frac{x^{2}}{6^{2}}-\frac{y^{2}}{3^{2}}=1$

9．（3分）（2011．山东）函数 $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}}{2}-2 \sin \mathrm{x}$ 的图象大致是（）
A

10．（3分）（2011 •山东）已知 $f(x)$ 是 $R$ 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 $0 \leq x<2$ 时，$f (x)=x^{3}-x$ ，则函数 $y=f(x)$ 的图象在区间 $[0,6]$ 上与 $x$ 轴的交点的个数为
A 6
B 7
C 8
D 9

11．（3分）（2011•山东）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：
①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；
②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；
③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图。
其中真命题的个数是

正（主）视图

俯视图

A 3
B 2
C 1
D 0

12．（3分）（2011 • 山东）设 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}, \mathrm{~A}_{3}, \mathrm{~A}_{4}$ 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 $\overrightarrow{A_{1} A_{3}}=\lambda \overrightarrow{A_{1} A_{2}}(\lambda \in R), \overrightarrow{A_{1} A_{4}}=\mu \overrightarrow{A_{1} A_{2}}(\mu \in R)$ ，且 $\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}=2$ ，则称 $A_{3}, A_{4}$ 调和分割 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}$ ，已知点 $\mathrm{C}(\mathrm{c}, 0), \mathrm{D}(\mathrm{d}, \mathrm{O})(\mathrm{c}, \mathrm{d} \in \mathrm{R})$ 调和分割点 $\mathrm{A}(0,0), \mathrm{B}(1,0)$ ，则下面说法正确的是
A C 可能是线段 A
－B的中点
B D可能是线段 A
－B的中点
C C，D可能同时
－在线段 AB 上
D C，D不可能同
－时在线段 AB 的
延长线上

13．（3分）（2011•山东）执行如图所示的程序框图，输入 $\mathrm{l}=2, \mathrm{~m}=3, \mathrm{n}=5$ ，则输出的 y 的值是 $\_\_\_\_$。

14．（3分）（2011 • 山东）若 $\left(x-\frac{\sqrt{a}}{x^{2}}\right)$ 式的常数项为 60 ，则常数 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$

15．（3分）（2011 • 山东）设函数 $f(x)=\frac{x}{x+2}(x>0)$ ，观察：
$f_{1}(x)=f(x)=\frac{x}{x+2}$,
$f_{2}(x)=f\left(f_{1}(x)\right)=\frac{x}{3 x+4}$,
$f_{3}(x)=f\left(f_{2}(x)\right)=\frac{x}{7 x+8}$,
$f_{4}(x)=f\left(f_{3}(x)\right)=\frac{x}{15 x+16}$,
⋯
根据以上事实，由归纳推理可得：
当 $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 2$ 时，$f_{n}(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

16．（3分）（2011 •山东）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}+\mathrm{x}-\mathrm{b} ~(\mathrm{a}>0$ ，且 $\mathrm{a} \neq 1)$ 。当 $2<\mathrm{a}<3<\mathrm{b}<$ 4 时，函数 $f(x)$ 的零点 $x_{0} \in(n, n+1), n \in N^{*}$ ，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．

17．（12分）（2011 • 山东）在 ABC 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 $\frac{\cos \mathrm{A}-2 \cos \mathrm{C}}{\cos \mathrm{B}}=\frac{2 \mathrm{c}-\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$
（I）求 $\frac{\sin \mathrm{C}}{\sin \mathrm{A}}$ 的值；
（II）若 $\cos \mathrm{B}=\frac{1}{4}, \mathrm{~b}=2$ ，求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积 S ．

18．（12分）（2011 •山东）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对 A ，乙对 B ，丙对 C 各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为 $0.6,0.5,0.5$ ，假设各盘比赛结果相互独立。
（I）求红队至少两名队员获胜的概率；
（II）用 $\xi$ 表示红队队员获胜的总盘数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $\mathrm{E} \xi$ 。

19．（12分）（2011 • 山东）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，$\angle \mathrm{ACB} =90^{\circ}, \mathrm{EA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{EF}\|\mathrm{AB}, \mathrm{FG}\| \mathrm{BC}, \mathrm{EG} \| \mathrm{AC} . \mathrm{AB}=2 \mathrm{EF}$ 。
（I）若 M 是线段 AD 的中点，求证： $\mathrm{GM} \|$ 平面 ABFE ；
（II）若 $\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=2 \mathrm{AE}$ ，求二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BF}-\mathrm{C}$ 的大小。

20．（12分）（2011•山东）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中。 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 中的任何两个数不在下表的同一列．

（I）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）如数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 满足 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+(-1){ }^{\mathrm{n}} \ln \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}$ 的前 n 项和 $\mathrm{s}_{\mathrm{n}}$ 。

21．（12分）（2011•山东）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 $\frac{80 \pi}{3}$ 立方米 ，且 $1 \geq 2 \mathrm{r}$ 。假设该容器的建造费用仅与其表面积有关。已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c （ $\mathrm{c}>3$ ）千元。设该容器的建造费用为 y 千元。
（I）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
（II）求该容器的建造费用最小时的r．

22．（14分）（2011 • 山东）已知直线 $l$ 与随圆 $C: \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 交于 $P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right.$ ）两不同点，且 $\triangle O P Q$ 的面积 $S_{\triangle O P Q}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，其中 $O$ 为坐标原点．
（I）证明 $\mathrm{x}_{1}{ }^{2}+\mathrm{x}_{2}{ }^{2}$ 和 $\mathrm{y}_{1}{ }^{2}+\mathrm{y}_{2}{ }^{2}$ 均为定值；
（II）设线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ，求 $|O M| \cdot|P Q|$ 的最大值；
（III）椭圆 C 上是否存在点 $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{G}$ ，使得 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ODE}}=\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ODG}}=\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{OEG}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ？若存在，判断 $\triangle \mathrm{DE}$ G 的形状；若不存在，请说明理由．

2011年山东省高考数学试卷（理科）