2011 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．设全集 $U=M \cup N=\{1,2,3,4,5\}, M \cap C_{\mathrm{u}} \mathrm{N}=\{2,4\}$ ，则 $\mathrm{N}=$

2．若 $a, b \in R, i$ 为虚数单位，且 $(a+i) i=b+i$ 则

3．＂$x>1$＂是＂$|x|>1$＂的

4．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

5．通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下粯列联表：

由 $K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+d)(c+d)(a+c)(b+d)}$ 算得，$K^{2}=\frac{110 \times(40 \times 30-20 \times 20)^{2}}{60 \times 50 \times 60 \times 50} \approx 7.8$
附表：

参照附表，得到的正确结论是

6．设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$ 的渐近线方程为 $3 x \pm 2 y=0$ ，则 a 的值为

7．曲线 $y=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}-\frac{1}{2}$ 在点 $\mathrm{M}\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ 处的切线的斜路为

8．已知函数 $f(x)=e^{x}-1, g(x)=-x^{2}+4 x-3$ ，若有 $f(a)=g(b)$ ，则 b 的取值范围为

9．在直角坐标系 xOy 中，曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \alpha, \\ y=\sqrt{3} \sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数）．在极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的方程为 $\rho(\cos \theta-\sin \theta)+1=0$ ，则 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 的交点个数为 $\_\_\_\_$

10．已知某试验范围为［10，90］，若用分数法进行 4 次优选试验，则第二次试点可以是 $\_\_\_\_$ （二）必做题（ $11 \sim 16$ 题）

10．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是
（二）必做题（11～16题）

11．若执行如图2所示的框图，输入 $x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=4, x_{4}=8$ 则输出的数等于 $\_\_\_\_$

12．已知 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为奇函数， $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+9, \mathrm{~g}(-2)=3$ ，则 $\mathrm{f}(2)=$ $\_\_\_\_$。

13．设向量 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 满足 $|\mathrm{a}|=2 \sqrt{5}, \mathrm{~b}=(2,1)$ ，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为 $\_\_\_\_$ ．

14．设 $m>1$ ，在约束条件 $\left\{\begin{array}{c}y \geq x \\ y \leq m x \\ x+y \leq 1\end{array}\right.$ 下，目标函数 $z=x+5 y$ 的最大值为 4 ，则 $m$ 的值为 $\_\_\_\_$

15．已知圆 $C: x^{2}+y^{2}=12$ ，直线 $l: 4 x+3 y=25$ ．
（1）圆 $C$ 的圆心到直线 $l$ 的距离为 $\_\_\_\_$。
（2）圆 $C$ 上任意一点 $A$ 到直线 $l$ 的距离小于 2 的概率为 $\_\_\_\_$ ．

16．给定 $k \in N^{*}$ ，设函数 $f: N^{*} \rightarrow N^{*}$ 满足：对于任意大于 $k$ 的正整数 $n, f(n)=n-k$
①设 $k=1$ ，则其中一个函数 $f$ 在 $n=1$ 处的函数值为 $\_\_\_\_$ ；
②设 $k=4$ ，且当 $n \leq 4$ 时， $2 \leq f(n) \leq 3$ ，则不同的函数 $f$ 的个数为 $\_\_\_\_$。

17．（本小题满分 12 分）
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，且满足 $\mathrm{c} \sin \mathrm{A}=\mathrm{a} \cos \mathrm{C}$ ．
（I）求角 C 的大小；
（II）求 $\sqrt{3} \sin \mathrm{~A}-\cos \left(\mathrm{B}+\frac{\pi}{4}\right)$ 的最大值，并求取得最大值时角 A 、 B 的大小．

18．（本小题满分 12 分）
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量 X （单位：毫米）有关，据统计，当 $\mathrm{X}=70$ 时， $\mathrm{Y}=460$ ； X 每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为： $140,110,160,70,200,160,140,160,220,200$ ， $110,160,160,200,140,110,160,220,140,160$.
（I）完成如下的频率分布表

近20年六月份降雨量频率分布表

（II）假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 （万千瓦时）或超过 53 0 （万千瓦时）的概率．

19．（本小题满分 12 分）
如图3，在圆锥 $P O$ 中，已知 $P O=\sqrt{2}, \odot O$ 的直径 $A B=2$ ，点 $C$ 在 $\overparen{A B}$ 上，且 $\angle \mathrm{CAB}=30^{\circ}, D$ 为 $A C$的中点．
（I）证明：$A C \perp$ 平面 $P O D$ ；
（II）求直线 $O C$ 和平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

图3

20．（本小题满分 13 分）
某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 $M, M$ 的价值在使用过程中逐年减少。从第2年到第6年，每年初 $M$ 的价值比上年初减少 10 万元；从第7年开始，每年初 $M$ 的价值为上年初的 $75 \%$ 。
（I）求第 $n$ 年初 $M$ 的价值 $a_{n}$ 的表达式；
（II）设 $A_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}{n}$ ，若 $A_{n}$ 大于 80 万元，则 $M$ 继续使用，否则须在第 $n$ 年初对 $M$ 更新，证明：须在第9年初对 $M$ 更新。

21．（本小题满分 13 分）
已知平面内一动点 $P$ 到点 $F(1,0)$ 的距离与点 $P$ 到 $y$ 轴的距离的差等于 1 ．
（I）求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（II）过点 $F$ 作两条斜率存在且互相垂直的直线 $l_{1}, l_{2}$ ，设 $l_{1}$ 与轨迹 $C$ 相交于点 $A, B, \quad l_{2}$ 与轨迹 $C$ 相交于点 $D, E$ ，求 $\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{E B}$ 的最小值．

22．（本小题满分 13 分）
设函数 $f(x)=x-\frac{1}{x}-a \ln x(a \in R)$ ．
（I）讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
（II）若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，记过点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right), B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 的直线斜率为 $k$ ．问：是否存在 $a$ ，使得 $k=2-a$ ？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）