2011 天津卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{1-3 i}{1-i}=$

1．i是虚数单位，复数1 31ii--
=

2．设变量 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 1, \\ x+y-4 \leq 0, \\ x-3 y+4 \leq 0,\end{array}\right.$ 则目标函数 $z=3 x-y$ 的最大值为

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 $x$ 的值为－

4 ，则输出 $y$ 的值为

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为-
4，则输出 y的值为

4．设集合 | $2 0 , | 0A x R x B x R x=$ Î - > = Î <，
| ( 2) 0C x R x x= Î - >，
则“ x A BÎ È”是“ x CΔ的

4．设集合 $A=\{x \in R \mid x-2>0\}, B=\{x \in R \mid x<0\}$ ，
$C=\{x \in R \mid x(x-2)>0\}$,
则＂$x \in A \cup B$＂是＂$x \in C$＂的

5．已知 $2 4 4log 3.6, log 3.2, log 3.6a b c= = =$则

5．已知 $a=\log _{2} 3.6, b=\log _{4} 3.2, c=\log _{4} 3.6$ 则

6．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左顶点与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点的距离为 4 ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为 $(-2,-$ 1），则双曲线的焦距为（ ）

7．已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\varphi), x \in R$ ，其中 $\omega>0,-\pi<\varphi \leq \pi$ ，若 $f(x)$ 的最小正周期为 $6 \pi$ ，且当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时，$f(x)$ 取得最大值，则

8．对实数 $a$ 和 $b$ ，定义运算＂$\otimes$＂：$a \otimes b=\left\{\begin{array}{l}a, a-b \leq 1, \\ b, a-b>1 .\end{array}\right.$ 设函数
$f(x)=\left(x^{2}-2\right) \otimes(x-1), x \in R$ 。若函数 $y=f(x)-c$ 的图象与 $x$ 轴恰有两个公共点 ，则实数 $c$ 的取值范围是

9．已知集合 $A=\{x \in R| | x-1 \mid<2\}, Z$ 为整数集，则集合 $A \cap Z$ 中所有元素的和等于

10．一个几何体的三视图如图所示（单位：$m$ ），则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ $m^{3}$

11．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，$n \in N^{*}$ ，若 $a_{3}=16, S_{20}=20$ ，则 $S_{10}$ 的值为

开视图

$\_\_\_\_$

係视图

特线绍

12．已知 2 2log log 1a b+ ³，则3 9a b+的最小值为_______
___

12．已知 $\log _{2} a+\log _{2} b \geq 1$ ，则 $3^{a}+9^{b}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$

13．如图已知圆中两条弦 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $F, E$ 是 $A B$ 延长线上一点，且 $D F=C F=\sqrt{2}, A F: F B: B E=4: 2: 1$ ．若 $C E$ 与圆相切，则 $C E$ 的长为 $\_\_\_\_$

14．已知直角梯形 $A B C D$ 中，$A D / / B C, \angle A D C=90^{\circ}, A D=2, B C=1$ ， $P$ 是腰 $D C$ 上的动点，则 $|\overrightarrow{P A}+3 \overrightarrow{P B}|$ 的最小值为 $\_\_\_\_$

15．编号为 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{16}$ 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

（I）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；

（II）从得分在区间［ 20,30 ）内的运动员中随机抽取 2 人，
（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这 2 人得分之和大于 50 的概率

16.

在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $B=C, 2 b=\sqrt{3} a$ ．
（I）求 $\cos A$ 的值；
（II） $\cos \left(2 A+\frac{\pi}{4}\right)$ 的值．

17．（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，$\angle A D C=45^{\circ}, A D=A C=1, O$ 为 $A C$ 中点， $P O \perp$ 平面 $A B C D, ~ P O=2$ ，
$M$ 为 $P D$ 中点。

（I）证明：$P B / /$ 平面 $A C M$ ；
（II）证明：$A D \perp$ 平面 $P A C$ ；
（III）求直线 $A M$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值．

18．（本小题满分 13 分）
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ 。点 $P(a, b)$ 满足

$ \left|P F_{2}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right| $

（I）求椭圆的离心率 $e$ ；
（II）设直线 $\mathrm{PF}_{2}$ 与椭圆相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，若直线 $\mathrm{PF}_{2}$ 与圆 $(x+1)^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=16$ 相交于 M ，N两点，且 $|M N|=\frac{5}{8}|A B|$ ，求椭圆的方程

19．（本小题满分14分）已知函数 $f(x)=4 x^{3}+3 t x^{2}-6 t x+t-1, x \in R$ ，其中 $t \in R$ ．
（I）当 $t=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（II）当 $t \neq 0$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；

（III）证明：对任意的 $t \in(0,+\infty), f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内均存在零点．

20．（本小题满分 14 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足

$ b_{n+1} a_{n}+b_{n} a_{n+1}=(-2)^{n}+1, b_{n}=\frac{3+(-1)^{n-1}}{2}, n \in N^{*} \text {, 且 } a_{1}=2 \text {. } $

（I）求 $a_{2}, a_{3}$ 的值；
（II）设 $c_{n}=a_{2 n+1}-a_{2 n-1}, n \in N^{*}$ ，证明 $\left\{c_{n}\right\}$ 是等比数列；
（III）设 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，证明 $\frac{S_{1}}{a_{1}}+\frac{S_{2}}{a_{2}}+\cdots+\frac{S_{2 n-1}}{a_{2 n-1}}+\frac{S_{2 n}}{a_{2 n}} \leq n-\frac{1}{3}\left(n \in N^{*}\right)$ ．