2013 大纲卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）设集合 $A=\{1,2,3\}, B=\{4,5\}, M=\{x \mid x=a+b, a \in A, b \in B\}$ ，则 $M$中元素的个数为

1．（5分）设集合$A={1$，2，3}，$B={4$，5}，$M={x|x=a+b$，a∈A，b∈B}，则M
中元素的个数为（　　）

2．（5分）$(1+\sqrt{3} i)^{3}=$

3．（5分）已知向量 $\vec{\pi}=(\lambda+1,1), \vec{n}=(\lambda+2,2)$ ，若 $(\vec{\pi}+\vec{n}) \perp(\vec{\pi}-\vec{n})$ ，则 $\lambda=$（ ）

3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（ ﹣ ），
则λ=（　　）

4．（5分）已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,0)$ ，则函数 $f(2 x+1)$ 的定义域为（ ）

5．（5分）函数 $f(x)=\log _{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)(x>0)$ 的反函数 $f^{-1}(x)=(\quad)$

6．（5分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $3 a_{n+1}+a_{n}=0, a_{2}=-\frac{4}{3}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 10 项和等于（ ）

7．（5分）$(1+x)^{3}(1+y)^{4}$ 的展开式中 $x^{2} y^{2}$ 的系数是（ ）

8．（5分）椭圆C：$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1} , A_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上且直线 $P A_{2}$斜率的取值范围是 $[-2,-1]$ ，那么直线 $\mathrm{PA}_{1}$ 斜率的取值范围是（ ）

9．（5分）若函数 $f(x)=x^{2}+a x+\frac{1}{x}$ 在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 是增函数，则 $a$ 的取值范围是

10．（5分）已知正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2 A B$ ，则 $C D$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成角的正弦值等于（ ）

11．（5分）已知抛物线C：$y2=8x$的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为
k的直线与C交于A，B两点，若 ，则$k=$（　　）
A．B．C．D．2

11．（5分）已知抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M(-2,2)$ ，过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=0$ ，则 $k=$（ ）

12．（5分）已知函数 $f(x)=\cos x \sin 2 x$ ，下列结论中不正确的是（）

13．（5分）已知 $\alpha$ 是第三象限角， $\sin \alpha=-\frac{1}{3}$ ，则 $\cot \alpha=\underline{2} \sqrt{2}$ —。

14．（5分） 6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有

$ 480 $

种．（用数字作答）

15．（5分）记不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 0 \\ x+3 y \geqslant 4 \text { 所表示的平面区域为D．若直线 } y=a(x+1) \text { 与 } \\ 3 x+y \leqslant 4\end{array}\right.$ D 有公共点，则 a 的取值范围是 $\left[\frac{1}{2}, 4\right]$ ．

16．（5分）已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径， $\mathrm{OK}=\frac{3}{2}$ ，且圆 0 与圆 K 所在的平面所成角为 $60^{\circ}$ ，则球 O 的表面积等于 $16 \pi$

17．（10分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．已知 $S_{3}=a_{2}{ }^{2}$ ，且 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项式。

18．（12分）设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的内角对边分别为 $a, b, c$ ，满足 $(a+b+c )(a-b+c)=a c$.
（I）求B．
（II）若 $\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{C}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}$ ，求C．

19．（12分）如图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，$\angle A B C=\angle B A D=90^{\circ}, B C=2 A D, \triangle P A B$ 与

$\triangle \mathrm{PAD}$ 都是等边三角形。
（ I ）证明： $\mathrm{PB} \perp \mathrm{CD}$ ；
（II）求二面角A－PD－C的大小。

20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（I）求第4局甲当裁判的概率；
（II）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望。

21．（12分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ，$F_{2}$ ，离心率为 3 ，直线 $y=2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$ ．
（1）求 $a$ ，$b$ ；
（II）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $\left|A F_{1}\right|=\left|B F_{1}\right|$ ，证明：$\left|A F_{2}\right| ,|A B| ,\left|B F_{2}\right|$ 成等比数列。

22．（12分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln (1+\mathrm{x}) \frac{\mathrm{x}(1+\lambda \mathrm{x})}{1+\mathrm{x}}$ ．
（I）若 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq 0$ ，求 $\lambda$ 的最小值；
（II）设数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{\mathrm{n}}$ ，证明： $\mathrm{a}_{2 \mathrm{n}}-\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{4 \mathrm{n}}>\ln 2$ ．