2015 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．设集合 $M=\left\{x \mid x^{2}=x\right\}, ~ N=\{x \mid \lg x \leq 0\}$ ，则 $M \cup N=()$
$A_{\sharp} .[0,1]$
B．$(0,1]$
C．$[0,1)$
D．$(-\infty, 1]$

2．某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为

3．已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的准线经过点 $(-1,1)$ ，则抛物线焦点坐标为

4．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}1-\sqrt{x}, x \geq 0 \\ 2^{x}, x<0\end{array}\right.$，则 $f(f(-2))=$

5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

6．＂ $\sin \alpha=\cos \alpha$＂是＂ $\cos 2 \alpha=0$＂的
$A$ 充分不必要条件
B 必要不充分条件
$C$ 充分必要条件
$D$ 既不充分也不必要

7．根据右边框图，当输入 $x$ 为 6 时，输出的 $y=$

8．对任意向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，下列关系式中不恒成立的是（ ）

9．设 $f(x)=x-\sin x$ ，则 $f(x)=(\quad)$

$A$ ．既是奇函数又是减函数
$B$ ．既是奇函数又是增函数
$C$ ．是有零点的减函数
D．是没有零点的奇函数

10．设 $f(x)=\ln x, 0<a<b$，若 $p=f(\sqrt{a b}), q=f\left(\frac{a+b}{2}\right), r=\frac{1}{2}(f(a)+f(b))$，则下列关系式中正确的是

11．某企业生产甲乙两种产品均需用 $A, B$ 两种原料，已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产 1 吨甲乙产品可获利润分别为 3 万元． 4 万元，则该企业每天可获得最大利润为

12．设复数 $z=(x-1)+y i(x, y \in R)$ ，若 $|z| \leq 1$ ，则 $y \geq x$ 的概率（ ）

13．中位数为 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015 ，则该数列的首项为 $\_\_\_\_$

14．如图，某港口一天 6 时到 18 时的谁深变化曲线近似满足函数 $y=3 \sin \left(\frac{\pi}{6} x+\Phi\right)+k$ ，据此函数可知，这段时间水深（单位：$m$ ）的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

15．函数 $y=x e^{x}$ 在其极值点处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

16．观察下列等式：
$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$

据此规律，第 $n$ 个等式可为 $\_\_\_\_$ ．

17．$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，向量 $\vec{m}=(a, \sqrt{3} b)$ 与 $\vec{n}=(\cos A, \sin B)$ 平行．
（I）求 $A$；
（II）若 $a=\sqrt{7}, b=2$ 求 $\triangle A B C$ 的面积．

18．如图 1，在直角梯形 $A B C D$ 中，$A D / / B C, \angle B A D=\frac{\pi}{2}, A B=B C=\frac{1}{2} A D=a, E$ 是 $A D$ 的中点，$O$是 $O C$ 与 $B E$ 的交点，将 $\triangle A B E$ 沿 $B E$ 折起到图 2 中 $\triangle A_{1} B E$ 的位置，得到四棱锥 $A_{1}-B C D E$ ．
（I）证明：$C D \perp$ 平面 $A_{1} O C$ ；

（II）当平面 $A_{1} B E \perp$ 平面 $B C D E$ 时，四棱锥 $A_{1}-B C D E$ 的体积为 $36 \sqrt{2}$ ，求 $a$ 的值．

图1

图2

19．随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

（I）在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（II）西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．

20．如图，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 经过点 $A(0,-1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（II）经过点 $(1,1)$ ，且斜率为 $k$ 的直线与陏圆 $E$ 交于不同两点 $P, Q$（均异于点 $A$ ），证明：直线 $A P$ 与 $A Q$的斜率之和为 2 。

21．设 $f_{n}(x)=x+x^{2}+\cdots+x^{n}-1, n \in N, n \geq 2$．
（I）求 $f_{n}^{\prime}(2)$；
（II）证明：$f_{n}(x)$ 在 $\left(0, \frac{2}{3}\right)$ 内有且仅有一个零点（记为 $a_{n}$ ），且 $0<a_{n}-\frac{1}{2}<\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$．

22．选修 4－1：几何证明选讲
如图，$A B$ 切 $\odot O$ 于点 $B$ ，直线 $A O$ 交 $\odot O$ 于 $D, E$ 两点，$B C \perp D E$ ，垂足为 $C$ ．
（I）证明：$\angle C B D=\angle D B A$
（II）若 $A D=3 D C, B C=\sqrt{2}$ ，求 $\odot O$ 的直径．

23．选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标版权法 $x O y$ 吕，直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2} t \\ y=\frac{\sqrt{3}}{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，$\odot C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sqrt{3} \sin \theta$ ．
（I）写出 $\odot C$ 的直角坐标方程；
（II）$P$ 为直线 $l$ 上一动点，当 $P$ 到圆心 $C$ 的距离最小时，求点 $P$ 的坐标．

24．选修 4－5：不等式选讲
已知关于 $x$ 的不等式 $|x+a|<b$ 的解集为 $\{x \mid 2<x<4\}$
（I）求实数 $a, b$ 的值；
（II）求 $\sqrt{a t+12}+\sqrt{b t}$ 的最大值．