2015 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．已知 $\frac{(1-i)^{2}}{z}=1+i$（ $i$ 为虚数单位），则复数 $z=$

2．设 $A, B$ 是两个集合，则＂$A \cap B=A$＂是＂$A \subseteq B$＂的

3．执行如图所示的程序框图，如果输入 $n=3$，则输出的 $S=$

4．若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y \geq-1 \\ 2 x-y \leq 1 \\ y \leq 1\end{array}\right.$ 则 $z=3 x-y$ 的最小值为（ ）。

5．设函数 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x)$，则 $f(x)$ 是

6．已知 $\left(\sqrt{x}-\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^{5}$ 的展开式中含 $x^{\frac{3}{2}}$ 的项的系数为 30，则 $a=$

A．$\sqrt{3}$
B．$-\sqrt{3}$
C． 6
D－6

7．在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 $\mathrm{N}(0,1)$ 的密度曲线）的点的个数的估计值为

8．已知点 $A, B, C$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上运动，且 $A B \perp B C$，若点 $P$ 的坐标为 $(2,0)$，则 $|\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}|$的最大值为

9．将函数 $f(x)=\sin 2 x$ 的图像向右平移 $\varphi\left(0<\varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 个单位后得到函数 $g(x)$ 的图像，若对满足 $\left|f\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)\right|=2$ 的 $x_{1}, x_{2}$ ，有 $\left|x_{1}-x_{2}\right|_{\text {min }}=\frac{\pi}{3}$ ，则 $\varphi=()$

10．某工件的三视图如图 3 所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新

工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率 $=\frac{\text { 新工件的体积 }}{\text { 原工件的体积 }}$

11． $\int_{0}^{2}(x-1) d x=$ $\_\_\_\_$．

12．在一次马拉松比赛中， 35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为 $1 \sim 35$ 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间［139，151］上的运动员人数是 $\_\_\_\_$ ．

13．设 $F$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的一个焦点，若 $C$ 上存在点 $P$，使线段 $P F$ 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$．

14．设 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1}=1$ ，且 $3 S_{1}, 2 S_{2}, S_{3}$ 成等差数列，则 $a_{n}=$

15．已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}, x \leq a \\ x^{2}, x>a\end{array}\right.$ ，若存在实数 $b$ ，使函数 $g(x)=f(x)-b$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

17．设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a=b \tan A$，且 $B$ 为针角．
（1）证明：$B-A=\frac{\pi}{2}$；
（2）求 $\sin A+\sin C$ 的取值范围．

18．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；
（2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．【答案】①$\frac{7}{10}$ ；（2）详见解析。

19．如图，已知四棱台 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，$A A_{1}=6$，且 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C D$，点 $P, Q$ 分别在棱 $D D_{1}, \mathrm{BC}$ 上。
（1）若 P 是 $D D_{1}$ 的中点，证明：$A B_{1} \perp P Q$；
（2）若 $P Q / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$，二面角 $P-Q D-A$ 的余弦值为 $\frac{3}{7}$，求四面体 $A D P Q$ 的体积．

20．已知抛物线 $C_{1}: x^{2}=4 y$ 的焦点 $F$ 也是椭圆 $C_{2}: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点，$C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦的

长为 $2 \sqrt{6}$ ．
（1）求 $C_{2}$ 的方程；
（2）过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C_{1}$ 相交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 相交于 $C, D$ 两点，且 $\overrightarrow{A C}$ 与 $\overrightarrow{B D}$ 同向
（i）若 $|A C|=|B D|$ ，求直线 $l$ 的斜率
（ii）设 $C_{1}$ 在点 $A$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $M$ ，证明：直线 $l$ 绕点 $F$ 旋转时，$\triangle M F D$ 总是针角三角形

21．已知 $a>0$ ，函数 $f(x)=e^{a x} \sin x(x \in[0,+\infty))$ ，记 $x_{n}$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $n\left(n \in N^{*}\right)$ 个极值点，证

明：
（1）数列 $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 是等比数列
（2）若 $a \geq \frac{1}{\sqrt{e^{2}-1}}$ ，则对一切 $n \in N^{*}, x_{n}<\left|f\left(x_{n}\right)\right|$ 恒成立．