2015 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1． i 为虚数单位， $\mathrm{i}^{607}=$

2．我国古代数学名著《九章算术》有＂米谷粒分＂题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1.534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为

3．命题＂$\exists x_{0} \in(0,+\infty), \quad \ln x_{0}=x_{0}-1$＂的否定是

4．已知变量 $x$ 和 $y$ 满足关系 $y=-0.1 x+1$ ，变量 $y$ 与 $z$ 正相关．下列结论中正确的是

5．$l_{1}, l_{2}$ 表示空间中的两条直线，若 $p: l_{1}, l_{2}$ 是异面直线；$q: l_{1}, l_{2}$ 不相交，则

6．函数 $f(x)=\sqrt{4-|x|}+\lg \frac{x^{2}-5 x+6}{x-3}$ 的定义域为

7．设 $x \in \mathbf{R}$ ，定义符号函数 $\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cc}1, & x>0, \\ 0, & x=0, \\ -1, & x<0 .\end{array}\right.$ 则

8．在区间 $[0,1]$ 上随机取两个数 $x, y$ ，记 $p_{1}$ 为事件＂$x+y \leq \frac{1}{2}$＂的概率，$p_{2}$ 为事件＂$x y \leq \frac{1}{2}$＂的概率，则

9．将离心率为 $e_{1}$ 的双曲线 $C_{1}$ 的实半轴长 $a$ 和虚半轴长 $b(a \neq b)$ 同时增加 $m(m>0)$ 个单位长度，得到离心率为 $e_{2}$ 的双曲线 $C_{2}$ ，则

10．已知集合 $A=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, x, y \in \mathbf{Z}\right\}, B=\{(x, y)| | x|\leq 2,|y| \leq 2, x, y \in \mathbf{Z}\}$ ，定义集合 $A \oplus B=\left\{\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right) \mid\left(x_{1}, y_{1}\right) \in A,\left(x_{2}, y_{2}\right) \in B\right\}$ ，则 $A \oplus B$ 中元素的个数为

11．已知向量 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{A B},|\overrightarrow{O A}|=3$ ，则 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=$

12．若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leq 4, \\ x-y \leq 2, \\ 3 x-y \geq 0,\end{array}\right.$ 则 $3 x+y$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

13．函数 $f(x)=2 \sin x \sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)-x^{2}$ 的零点个数为 $\_\_\_\_$ ．

14．某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额
（单位：万元）都在区间［0．3，0．9］内，其频率分布直方图如图所示．
（I）直方图中的 $a=$ $\_\_\_\_$ ；
（II）在这些购物者中，消费金额在区间［0．5，0．9］内的购物者的人数为 $\_\_\_\_$ ．

15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶 $D$ 在西偏北 $30^{\circ}$的方向上，行驶 600 m 后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北 $75^{\circ}$ 的方向上，仰角为 $30^{\circ}$ ，则此山的高度
$C D=$ $\_\_\_\_$ m．

16．如图，已知圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T(1,0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A, B$（ $B$ 在 $A$ 的上方），且 $|A B|=2$ ．

（I）圆 $C$ 的标准方程为 $\_\_\_\_$ ；
（II）圆 $C$ 在点 $B$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $\_\_\_\_$ ．

17．$a$ 为实数，函数 $f(x)=\left|x^{2}-a x\right|$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值记为 $g(a)$ ．当 $a=$ $\_\_\_\_$时，$g(a)$ 的值最小．

18．（本小题满分 12 分）

某同学用＂五点法＂画函数。 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right)$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（I）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 $f(x)$ 的解析式；
：（II）将 $y=f(x)$ 图象上所有点向左平行移动 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，得到 $y=g(x)$ 图象，求 $y=g(x)$ 的图象离原点 $O$ 最近的对称中心．

19．（本小题满分 12 分）
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ．已知 $b_{1}=a_{1}, b_{2}=2, q=d$ ， $S_{10}=100$ 。
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）当 $d>1$ 时，记 $c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

20．（本小题满分 13 分）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鱉臑。

在如图所示的阳马 $P-A B C D$ 中，侧棱 $P D \perp$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D=C D$ ，点 $E$ 是 $P C$ 的中点，连接 $D E, B D, B E$ ．

（I）证明：$D E \perp$ 平面 $P B C$ ．试判断四面体 $E B C D$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（II）记阳马 $P-A B C D$ 的体积为 $V_{1}$ ，四面体 $E B C D$ 的体积为 $V_{2}$ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值．

21．（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x), g(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$，且 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是偶函数， $f(x)+g(x)=\mathrm{e}^{x}$，其中 e 为自然对数的底数。
（I）求 $f(x), g(x)$ 的解析式，并证明：当 $x>0$ 时，$f(x)>0, g(x)>1$；
（II）设 $a \leq 0, b \geq 1$，证明：当 $x>0$ 时，$a g(x)+(1-a)<\frac{f(x)}{x}<b g(x)+(1-b)$．

22．（本小题满分 14 分）
一种画椭圆的工具如图 1 所示。 $O$ 是滑槽 $A B$ 的中点，短杆 $O N$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $M N$ 通过 $N$ 处较链与 $O N$ 连接，$M N$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $A B$ 滑动，且 $D N=O N=1, M N=3$ 。当栓子 $D$ 在滑槽 $A B$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动，$M$ 处的笔尖画出的椭圆记为 $C$ 。以 $O$ 为原点，$A B$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图2所示的平面直角坐标系。
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）设动直线 $l$ 与两定直线 $l_{1}: x-2 y=0$ 和 $l_{2}: x+2 y=0$ 分别交于 $P, Q$ 两点．若直线 $l$ 总与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点，试探究：$\triangle O P Q$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

第 22 题图 1

第22题图2