2015 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．设集合 $M=\left\{x \mid x^{2}=x\right\}, N=\{x \mid \lg x \leq 0\}$ ，则 $M \bigcup N=$

2．某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为

3．如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 $y=3 \sin \left(\frac{\pi}{6} x+\varphi\right)+k$ ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为

4．二项式 $(x+1)^{n}\left(n \in N_{+}\right)$的展开式中 $x^{2}$ 的系数为 15 ，则 $n=$

5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

6．＂ $\sin \alpha=\cos \alpha$＂是＂ $\cos 2 \alpha=0$＂的 ．

7．对任意向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，下列关系式中不恒成立的是

8．根据右边的图，当输入 $x$ 为 2006 时，输出的 $y=$

9．设 $f(x)=\ln x, 0<a<b$ ，若 $p=f(\sqrt{a b}), q=f\left(\frac{a+b}{2}\right), r=\frac{1}{2}(f(a)+f(b))$ ，则下列关系式中正确的是（ ）

10．某企业生产甲、乙两种产品均需用 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两种原料．已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、 4 万元，则该企业每天可获得最大利润为

11．设复数 $z=(x-1)+y i(x, y \in R)$ ，若 $|z| \leq 1$ ，则 $y \geq x$ 的概率为（ ）

12．对二次函数 $f(x)=a x^{2}+b x+c$（ $a$ 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）

13．中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015 ，则该数列的首项为 $\_\_\_\_$ ．

14．若抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的准线经过双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的一个焦点，则 $p=$ $\_\_\_\_$．

15．设曲线 $y=e^{x}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与曲线 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为 $\_\_\_\_$ ．

16．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物 线型（图中虚线表示），则

原始的最大流量与当前最大流量的比值为 $\_\_\_\_$ ．

17．（本小题满分 12 分）$\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$， C 所对的边分别为 $a, b, c$。向量 $\vec{m}=(a, \sqrt{3} b)$ 与 $\vec{n}=(\cos \mathrm{A}, \sin \mathrm{B})$ 平行。
（I）求 A；
（II）若 $a=\sqrt{7}, b=2$ 求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积．

18．（本小题满分 12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中， $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \angle \mathrm{BAD}=\frac{\pi}{2}, \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=1$ ， $\mathrm{AD}=2, \mathrm{E}$ 是 AD 的中点， O 是 AC 与 BE 的交点。将 $\triangle \mathrm{ABE}$ 沿 BE 折起到 $\Delta \mathrm{A}_{1} \mathrm{BE}$ 的位置，如图2．

图1

图2

（I）证明： $\mathrm{CD} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{OC}$ ；
（II）若平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BE} \perp$ 平面 BCDE ，求平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BC}$ 与平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{CD}$ 夹角的余弦值．

19．（本小题满分 12 分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 $\mathrm{T}, \mathrm{T}$ 只与道路畅通状况有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下：

（I）求 T 的分布列与数学期望 ET；
（II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率．

20．（本小题满分 12 分）已知椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的半焦距为 $c$，原点 O 到经过两点 $(c, 0)$,
$(0, b)$ 的直线的距离为 $\frac{1}{2} c$．
（I）求椭圆 E 的离心率；

（II）如图， AB 是圆 $\mathrm{M}:(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{5}{2}$ 的一条直径，若椭圆 E 经过 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，求椭圆 E 的方程。

21．（本小题满分 12 分）设 $f_{n}(x)$ 是等比数列 $1, x, x^{2}, \cdots, x^{n}$ 的各项和，其中 $x>0, n \in \mathrm{~N}$， $n \geq 2$.
（I）证明：函数 $\mathrm{F}_{n}(x)=f_{n}(x)-2$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内有且仅有一个零点（记为 $x_{n}$ ），且 $x_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} x_{n}^{n+1}$；
（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 $g_{n}(x)$，比较 $f_{n}(x)$

与 $g_{n}(x)$ 的大小，并加以证明．

22．（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲
如图， AB 切 $\odot \mathrm{O}$ 于点 B，直线 AD 交 $\odot \mathrm{O}$ 于 $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ 两点， $\mathrm{BC} \perp \mathrm{DE}$，垂足为 C．
（I）证明：$\angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{DBA}$；
（II）若 $\mathrm{AD}=3 \mathrm{DC}, \mathrm{BC}=\sqrt{2}$，求 $\odot \mathrm{O}$ 的直径．

23．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x \mathrm{O} y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2} t \\ y=\frac{\sqrt{3}}{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）．以原点为极点，$x$ 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，$\odot \mathrm{C}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sqrt{3} \sin \theta$ ．
（I）写出 $\odot \mathrm{C}$ 的直角坐标方程；
（II） P 为直线 $l$ 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．

24．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知关于 $x$ 的不等式 $|x+a|<b$ 的解集为 $\{x \mid 2<x<4\}$ ．
（I）求实数 $a, b$ 的值；
（II）求 $\sqrt{a t+12}+\sqrt{b t}$ 的最大值．