2015 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1、已知 $\frac{(1-i)^{2}}{z}=1+i$（ $i$ 为虚数单位），则复数 $z=$

2、在一次马拉松比赛中， 35 名运动员的成绩（单位：分钟）如图 I 所示；

若将运动员按成绩由好到差编为 $1 \sim 35$ 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间［139，151］上的运动员人数为（

3、设 $x \in \mathrm{R}$，则＂$x>1$＂是＂$x^{2}>1$＂的

4、若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y \geq 1 \\ y-x \leq 1 \\ x \leq 1\end{array}\right.$，则 $z=2 x-y$ 的最小值为

5、执行如图2所示的程序框图，如果输入 $\mathrm{n}=3$，中输入的 $\mathrm{S}=$

6、若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的一条渐近线经过点 $(3,-4)$ ，则此双曲线的离心率为

7、若实数 $a, b$ 满足 $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\sqrt{a b}$，则 $a b$ 的最小值为

8、设函数 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x)$ ，则 $f(x)$ 是（ ）

9、已知点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上运动，且 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{BC}$，若点 P 的坐标为 $(2,0)$，则 $|\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}|$ 的最大值为（

10、某工作的三视图如图 3 所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率＝新工件的体积／原工件的体积）
A、 $\frac{8 \pi}{9}$
B、 $\frac{8}{27 \pi}$
C $, \frac{24(\sqrt{2}-1)^{2}}{\pi}$
D、 $\frac{8(\sqrt{2}-1)^{2}}{\pi}$

正视图

侧视图

俯视图

11、已知集合 $\mathrm{U}=\{1,2,3,4\}, \mathrm{A}=\{1,3\}, \mathrm{B}=\{1,3,4\}$ ，则 $\mathrm{A} \cup\left(\Phi_{U} B\right)=$

12、在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线 C 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$ ，则曲线 C 的直角坐标方程为

13．若直线 $3 x-4 y+5=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，且 $\angle A O B=120^{\circ}$（ O 为坐标原点），则 $r=$

14、若函数 $f(x)=\left|2^{x}-2\right|-b$ 有两个零点，则实数 $b$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$．

15、已知 $\omega>0$，在函数 $\mathrm{y}=2 \sin \omega \mathrm{x}$ 与 $\mathrm{y}=2 \cos \omega \mathrm{x}$ 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为 $2 \sqrt{3}$，则 $\omega=$

16．（本小题满分 12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 $A_{1}, A_{2}$ 和 1 个白球 $B$ 的甲箱与装有 2 个红球 $a_{1}, a_{2}$ 和 2 个白球 $b_{1}, b_{2}$ 的乙箱中，各随机摸出 1个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖。
（I）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（II）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。

17．（本小题满分 12 分）设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a=b \tan A$ ．
（I）证明： $\sin B=\cos A$ ；
（II）若 $\sin C-\sin A \cos B=\frac{3}{4}$ ，且 $B$ 为钝角，求 $A, B, C$ ．

18．（本小题满分 12 分）如图4，直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为 2 的正三角形，$E, F$ 分别是 $B C, C C_{1}$的中点。
（I）证明：平面 $A E F \perp$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；
（II）若直线 $A_{1} C$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 所成的角为 $45^{\circ}$ ，求三棱锥 $F-A E C$ 的体积。

19．（本小题满分 13 分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1}=1, a_{2}=2$ ，且 $a_{n+1}=3 S_{n} -S_{n+1}+3,\left(n \in N^{*}\right)$,
（I）证明：$a_{n+2}=3 a_{n}$ ；
（II）求 $S_{n}$ 。

20．（本小题满分 13 分）已知抛物线 $C_{1}: x^{2}=4 y$ 的焦点 F 也是椭圆 $C_{2}: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$
$(a>b>0)$ 的一个焦点，$C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦长为 $2 \sqrt{6}$ ，过点 F 的直线 $l$ 与 $C_{1}$ 相交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 相交于 $C, D$ 两点，且 $\overrightarrow{A C}$ 与 $\overrightarrow{B D}$ 同向．
（I）求 $C_{2}$ 的方程；
（II）若 $|A C|=|B D|$ ，求直线 $l$ 的斜率．

21．（本小题满分 13 分）函数 $f(x)=a e^{2} \cos x\left(x \in[0,+\infty)\right.$ ，记 $x_{n}$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $n\left(n \in N^{*}\right)$ 个极值点。

（I）证明：数列 $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 是等比数列；
（II）若对一切 $n \in N^{*}, x_{n} \leq\left|f\left(x_{n}\right)\right|$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。