2015 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．设集合 $A=\{x \mid(x+1)(x-2)<0\}$，集合 $B=\{x \mid 1<x<3\}$，则 $A \cup B=$

2．设 i 是虚数单位，则复数 $i^{3}-\frac{2}{i}$（

3．执行如图所示的程序框图，输出 $S$ 的值是

4．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是

5．过双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，则 $|A B|=$

6．用数字 $0,1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有（ ）

7．设四边形 ABCD 为平行四边形，$|\overrightarrow{A B}|=6,|\overrightarrow{A D}|=4$ 。若点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 满足 $\overrightarrow{B M}=3 \overrightarrow{M C}, \overrightarrow{D N}=2 \overrightarrow{N C}$ ，则 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{N M}=$

8．设 $a, b$ 都是不等于 1 的正数，则＂ $3^{a}>3^{b}>3$＂是＂ $\log _{a} 3<\log _{b} 3$＂的

9．如果函数 $f(x)=\frac{1}{2}(m-2) x^{2}+(n-8) x+1(m \geq 0, n \geq 0)$ 在区间 $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上单调递减，则 $m n$ 的最大值为

10．设直线 $l$ 与抛物线 $y^{2}=4 x$ 相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，与圆 $(x-5)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点．若这样的直线 $l$ 恰有 4 条，则 $r$ 的取值范围是

11．在 $(2 x-1)^{5}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 的项的系数是 $\_\_\_\_$ （用数字作答）。

12． $\sin 15^{\circ}+\sin 75^{\circ}=$ $\_\_\_\_$ ．

13．某食品的保鲜时间 $y$（单位：小时）与储存温度 x （单位：${ }^{\circ} C$ ）满足函数关系 $y=e^{k x+b}(e=2.718 \cdots$ 为自然对数的底数，$k, b$ 为常数）。若该食品在 $0^{\circ} C$ 的保鲜时间设计192小时，在 $22^{\circ} C$ 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 $33^{\circ} \mathrm{C}$ 的保鲜时间是 $\_\_\_\_$小时．

14．如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上， $\mathrm{E}, \mathrm{~F}$ 分别为 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ 的中点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 $\theta$，则 $\cos \theta$ 的最大值为 $\_\_\_\_$．

15．已知函数 $f(x)=2^{x}, g(x)=x^{2}+a x$（其中 $a \in R$ ）．对于不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，设 $m=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$， $n=\frac{g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$.
现有如下命题：
①对于任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $m>0$；
②对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $n>0$；
③对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=n$；
④对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=-n$．
其中的真命题有 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序号）．

16．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=2 a_{n}-a_{1}$，且 $a_{1}, a_{2}+1, a_{3}$ 成等差数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $T_{n}$，求得 $\left|T_{n}-1\right|<\frac{1}{1000}$ 成立的 $n$ 的最小值．

17．某市 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两所中学的学生组队参加辩论赛， A 中学推荐 3 名男生，2名女生， B 中学推荐了 3 名男生， 4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队
（1）求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率．
（2）某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 $X$ 表示参赛的男生人数，求 $X$ 得分布列和数学期望。

18．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 $B C$ 的中点为 $M, G H$的中点为 $N$
（1）请将字母 $F, G, H$ 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（2）证明：直线 $M N / /$ 平面 $B D H$
（3）求二面角 $A-E G-M$ 的余弦值．

19．如图，$A, B, C, D$ 为平面四边形 ABCD 的四．个内角．
（1）证明： $\tan \frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{\sin A}$ ；

（2）若 $A+C=180^{\circ}, A B=6, B C=3, C D=4, A D=5$ ，求 $\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{D}{2}$ 的值．

20．如图，椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过点 $\mathrm{P}(0,1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$两点，当直线 $l$ 平行与 $x$ 轴时，直线 $l$ 被椭圆 E 截得的线段长为 $2 \sqrt{2}$ ．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q ，使得 $\frac{|Q A|}{|Q B|}=\frac{|P A|}{|P B|}$ 恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

21．已知函数 $f(x)=-2(x+a) \ln x+x^{2}-2 a x-2 a^{2}+a$ ，其中 $a>0$ ．
①设 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，评论 $g(x)$ 的单调性；
（2）证明：存在 $a \in(0,1)$ ，使得 $f(x) \geq 0$ 在区间 $(1,+\infty)$ 内恒成立，且 $f(x)=0$ 在 $(1,+\infty)$ 内有唯一解．