2015 北京卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5 分）复数 $i(2-i)=(\quad)$

1． （5分）复数i（2﹣i）=（　　）

2．（5 分）若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x-y \leqslant 0 \\ x+y \leqslant 1 \\ x \geqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x+2 y$ 的最大值为（ ）

3．（5 分）执行如图所示的程序框图输出的结果为

4．（5 分）设 $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面，$m$ 是直线且 $m \subset \alpha, ~ " m / / \beta$＂是＂$\alpha / / \beta$＂的

5．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

6． （5分）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）

6．（5 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，下列结论中正确的是

7．（5 分）如图，函数 $f(x)$ 的图象为折线 $A C B$ ，则不等式 $f(x) \geqslant \log _{2}(x+1)$

的解集是

8．（5分）汽车的＂燃油效率＂是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是

9．（5 分）在 $(2+x)^{5}$ 的展开式中，$x^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 40 （用数字作答）

10．（5 分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x+y=0$ ，则 $a= \frac{\sqrt{3}}{3}-$ ．

11．（5 分）在极坐标系中，点 $\left(2, \frac{\pi}{3}\right)$ 到直线 $\rho(\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta)=6$ 的距离为 1 ．

12．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，$a=4, b=5, c=6$ ，则 $\frac{\sin 2 A}{\sin C}=$ $\_\_\_\_$ 1 ．

13．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，点 $M, N$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=2 \overrightarrow{\mathrm{MC}}, \overrightarrow{\mathrm{BN}}=\overrightarrow{\mathrm{NC}}$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ，则 $x= \frac{1}{2}-, y=-\frac{1}{6}-$.

14．（5 分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2^{x}-a, & x<1 \\ 4(x-a)(x-2 a), & x \geqslant 1\end{array}\right.$,
（1）若 $a=1$ ，则 $f(x)$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ －1 ；
（2）若 $f(x)$ 恰有 2 个零点，则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $\frac{1}{2} \leqslant a<1$ 或 $a \geqslant 2$ ．

15．（13 分）已知函数 $f(x)=\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}-\sqrt{2} \sin \frac{2 x}{2}$ ．
（I）求 $f(x)$ 的最小正周期；
（II）求 $f(x)$ 在区间 $[-\pi, 0]$ 上的最小值．

16．（13 分）A，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

A 组：10，11，12，13，14，15， 16
B 组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙。
（I）求甲的康复时间不少于 14 天的概率；
（II）如果 $a=25$ ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（III）当 a 为何值时， $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

17．（14分）如图，在四棱锥 A－EFCB 中，$\triangle A E F$ 为等边三角形，平面 $A E F \perp$ 平面 $E F C B, E F / / B C, B C=4, E F=2 a, \angle E B C=\angle F C B=60^{\circ}$ ，$O$ 为 $E F$ 的中点。
（I）求证：$A O \perp B E$ ．
（II）求二面角 $F-A E-B$ 的余弦值；
（III）若 $B E \perp$ 平面 $A O C$ ，求 $a$ 的值．

18．（13 分）已知函数 $f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$ ，
（I）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0)$ ）处的切线方程；
（II）求证，当 $x \in(0,1)$ 时，$f(x)>2\left(x+\frac{x^{3}}{3}\right)$ ；
（III）设实数 $k$ 使得 $f(x)>k\left(x+\frac{x^{3}}{3}\right)$ 对 $x \in(0,1)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值．

19．（14 分）已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $\mathrm{P}(0,1)$和点 $A(m, n)(m \neq 0)$ 都在椭圆 $C$ 上，直线 PA 交 $x$ 轴于点 $M$ ．
（I）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 表示）；
（II）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N ，问： y轴上是否存在点 Q ，使得 $\angle \mathrm{OQM}=\angle \mathrm{ONQ}$ ？若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，说明理由．

20．（13 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1} \in N^{*}, a_{1} \leqslant 36$ ，且 $a_{n+1}= \begin{cases}2 a_{n}, & a_{n} \leqslant 18 \\ 2 a_{n}-36, & a_{n}>18\end{cases} (n=1,2, \ldots)$ ，记集合 $M=\left\{a_{n} \mid n \in N^{*}\right\}$ 。
（I）若 $a_{1}=6$ ，写出集合 $M$ 的所有元素；
（II）如集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明： M 的所有元素都是 3 的倍数；
（III）求集合 $M$ 的元素个数的最大值．