2013 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．设全集为 R，函数 $f(x)=\sqrt{1-x}$ 的定义域为 M，则 $C_{\mathbf{R}} M$ 为

2．已知向量 $\vec{a}=(1, m), \vec{b}=(m, 2)$，若 $\mathrm{a} / / \mathrm{b}$，则实数 m 等于

3．设 $a, b, c$ 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是

4．根据下列算法语句，当输入 x 为 60 时，输出 y 的值为

5．对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间 $[20,25)$ 上的为一等品，在区间 $[15,20)$ 和区间 $[25,30)$ 上的为二等品，在区间 $[10,15)$和 $[30,35)$ 上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为

6．设 z 是复数，则下列命题中的假命题是

7．若点 $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 位于曲线 $\mathrm{y}=|\mathrm{x}|$ 与 $\mathrm{y}=2$ 所围成的封闭区域，则 $2 \mathrm{x}-\mathrm{y}$ 的最小值为

8．已知点 $\mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ 在圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 外，则直线 $\mathrm{ax}+\mathrm{by}=1$ 与圆 0 的位置关系是

9．设 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$，若 $b \cos C+c \cos B=a \sin A$，则 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的形状为

10．设 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，则对任意实数 $x, y$, 有

11．双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 的离心率为 $\_\_\_\_$．

12．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 $\_\_\_\_$．

主视图

俯视图

左视图

【答第】 $3 \pi$

13．观察下列等式：
$(1+1)=2 \times 1$
$(2+1)(2+2)=2^{2} \times 1 \times 3$
$(3+1)(3+2)(3+3)=2^{3} \times 1 \times 3 \times 5$

照此规律，第 n 个等式可为 $\_\_\_\_$．

14．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 x

为 $\_\_\_\_$ （m）

16．（本小题满分 12 分）

已知向量 $\boldsymbol{a}=\left(\cos x,-\frac{1}{2}\right), \boldsymbol{b}=(\sqrt{3} \sin x, \cos 2 x), x \in \boldsymbol{R}$，设函数 $f(x)=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$．
（I）求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小正周期．
（II）求 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值．

17．（本小题满分 12 分）

设 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 表示数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和．
（I）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，推导 $\mathrm{S}_{n}$ 的计算公式；
（II）若 $a_{1}=1, q \neq 0$，且对所有正整数 n，有 $S_{n}=\frac{1-q^{n}}{1-q}$．判断 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否为等比数列．并证明你的结论。

18．（本小题满分 12 分）
如图，四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形， 0 为底面中心，$A_{1} 0 \perp$ 平面 $A B C D$， $A B=A A_{1}=\sqrt{2}$.

（I）证明： $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BD} / /$ 平面 $\mathrm{CD}_{1} \mathrm{~B}_{1}$；
（II）求三棱柱 $A B D-A_{1} B_{1} D_{1}$ 的体积。

19．（本小题满分 12 分）
有 7 位歌手（1 至 7 号）参加一场歌唱比赛，由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为 5 组，各组的人数如下：

（I）为了调查评委对 7 位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 B组中抽取了 6 人。请将其余各组抽取的人数填入下表。

（II）在（I）中，若A，B两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人，求这 2 人都支持 1 号歌手的概率。

20．（本小题满分 13 分）
已知动点 $M(x, y)$ 到直线 $1: x=4$ 的距离是它到点 $N(1,0)$ 的距离的 2 倍．
（I）求动点 M 的轨迹 C 的方程；
（II）过点 $\mathrm{P}(0,3)$ 的直线 m 与轨迹 C 交于 A， B 两点．若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率．

21．（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}, x \in \boldsymbol{R}$．
（I）求 $f(x)$ 的反函数的图象上图象上点 $(1,0)$ 处的切线方程；
（II）证明：曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}$（ x ）与曲线 $y=\frac{1}{2} x^{2}+x+1$ 有唯一公共点．
（III）设 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$，比较 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ 与 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 的大小，并说明理由。