2008 地方卷 · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5分）（2008•陕西） $\sin 330^{\circ}$ 等于

2．（5分）（2008•四川）已知全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$ ，集合 $A=\{1,3\}, B=\{3,4,5\}$ ，则集合 $C_{U}(A \cap B$ ）＝

3．（5分）（2008•陕西）某林场有树苗 30000 棵，其中松树苗 4000 棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本，则样本中松树苗的数量为

4．（5分）（2008•陕西）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{1}+a_{2}=4, a_{7}+a_{8}=28$ ，则该数列前 10 项和 $S_{10}$ 等于

5．（5分）（2008•陕西）直线 $\sqrt{3} x-y+m=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}-2 x-2=0$ 相切，则实数 $m$ 等于

6．（5分）（2008•陕西）＂$a=1$＂是＂对任意的正数 $x, 2 x+\frac{a}{x} \geqslant 1$＂的

7．（5分）（2008•陕西）已知函数 $f(x)=2^{x+3}, f^{-1}(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数，若 $m n=16\left(m, n \in R^{+}\right)$，则 $f^{-} { }^{1}(m)+f^{-1}(n)$ 的值为

8．（5分）（2008•陕西）长方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 的各顶点都在半径为 1 的球面上，其中 $\mathrm{AB}: \mathrm{AD}: \mathrm{AA}_{1}=2 : 1: \sqrt{3}$ ，则两 A ， B 点的球面距离为 

9．（5分）（2008•陕西）双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作倾斜角为 3 $0^{\circ}$ 的直线交双曲线右支于 M 点，若 $\mathrm{MF}_{2}$ 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（） 

10．（5分）（2008•陕西）如图，$\alpha \perp \beta, \alpha \cap \beta=1, A \in \alpha, B \in \beta, A , B$ 到 1 的距离分别是 $a$ 和b．$A B$ 与 $\alpha , \beta$ 所成的角分别是 $\theta$ 和 $\phi, A B$ 在 $\alpha , \beta$ 内的射影分别是 $m$ 和 $n$ 。若 $a>b$ ，则（） 

11．（5 分）（2008 •陕西）定义在 R 上的函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足 $\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{y})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}(\mathrm{y})+2 \mathrm{xy}(\mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathrm{R}), \mathrm{f}(1)=$ 2 ，则 $f(-3)$ 等于

12．（5分）（2008•陕西）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息。设定原信息为 $a_{0} a_{1} a_{2}, a_{i} \in\{0,1\}(i=0,1,2)$ ，传输信息为 $h_{0} a_{0} a_{1} a_{2} h_{1}$ ，其中 $h_{0}=a_{0} \oplus a_{1}, h_{1}= h_{0} \oplus a_{2}, ~ \oplus$ 运算规则为： $0 \oplus 0=0, ~ 0 \oplus 1=1, ~ 1 \oplus 0=1, ~ 1 \oplus 1=0$ ，例如原信息为 111 ，则传输信息为 01111 。传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是

13．（4分）（2008•陕西）$\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，若 $\mathrm{c}=\sqrt{2}, \mathrm{~b}=\sqrt{6}, \mathrm{~B}=120^{\circ}$ ，则 $\mathrm{a}= \sqrt{2}$ ．

14．（4分）（2008 •陕西）$\left(1-\frac{2}{x}\right)^{7}$ 的展开式中 $\frac{1}{x^{2}}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 84 ．（用数字作答）

15．（4分）（2008•陕西）关于平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，有下列三个命题： ①若 $\vec{a} \bullet \vec{b}=\vec{a} \bullet \vec{c}$ ，则 $\vec{b}=\vec{c}$ 、 ②若 $\vec{a}=(1, k), \vec{b}=(-2,6), \vec{a} \| \vec{b}$ ，则 $k=-3$ ． ③非零向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 和 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 满足 $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ． 其中真命题的序号为 $\_\_\_\_$ ② ．（写出所有真命题的序号）

16．（4分）（2008•陕西）某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成。如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有—96种。（用数字作答）。

17．（12分）（2008 •陕西）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \sin \frac{\mathrm{x}}{4} \cdot \cos \frac{\mathrm{x}}{4}+\sqrt{3} \cos \frac{\mathrm{x}}{2}$ ． （1）求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小正周期及最值； （2）令 $g(x)=f\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ ，判断函数 $g(x)$ 的奇偶性，并说明理由。

18．（12分）（2008 • 陕西）一个口袋中装有大小相同的 2 个红球， 3 个黑球和 4 个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回。 （I）连续摸球 2 次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率； （II）如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过 3 次的概率。

19．（12分）（2008•陕西）三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}, \angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}, \mathrm{A}_{1} \mathrm{~A} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, \mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}=\sqrt{3}, \mathrm{AB}=\sqrt{2}, \mathrm{AC}=2, \mathrm{~A}_{1} \mathrm{C}_{1}=1, \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{1}{2}$ 。 （I）证明：平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{AD} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ； （II）求二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{CC}_{1}-\mathrm{B}$ 的大小。 

20．（12分）（2008•陕西）已知数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的首项 $\mathrm{a}_{1}=\frac{2}{3}, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=\frac{2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+1}, \mathrm{n}=1,2, \ldots$ （I）证明：数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}-1\right\}$ 是等比数列； （II）求数列 $\left\{\frac{n}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

21．（12分）（2008•陕西）已知抛物线C：$y=2 x^{2}$ ，直线 $y=k x+2$ 交C于A，B两点，M是线段 $A B$ 的中点，过 $M$作 x 轴的垂线交 C 于点 N 。 （I）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行； （II）是否存在实数 k 使 $\overrightarrow{\mathrm{NA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{NB}}=0$ ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由．

22．（14分）（2008•陕西）设函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}-a^{2} x+1, g(x)=a x^{2}-2 x+1$ ，其中实数 $a \neq 0$ ． （I）若 $\mathrm{a}>0$ ，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调区间； （II）当函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 与 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的图象只有一个公共点且 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 存在最小值时，记 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的最小值为 $\mathrm{h}(\mathrm{a}$ ），求 h （a）的值域； （III）若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间（ $a, a+2$ ）内均为增函数，求 $a$ 的取值范围．