2011 地方卷 · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5分）（2011•辽宁）a为正实数，$i$ 为虚数单位，$\left|\frac{a+i}{i}\right|=2$ ，则 $a=$（）

2．（5分）（2011•辽宁）已知 $M$ ，$N$ 为集合 $I$ 的非空真子集，且 $M, N$ 不相等，若 $N \cap ~\left(C_{I} M\right) ~= \varnothing$ ，则 $M \cup N=$（ ）

3．（5分）（2011•辽宁）已知 $F$ 是抛物线 $y^{2}=x$ 的焦点，$A, B$ 是该抛物线上的两点，$|A F|+\mid B \mathrm{F} \mid=3$ ，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为（）

4．（5分）（2011－辽宁）$\triangle \mathrm{ABC}$ 的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋b $\cos ^{2} \mathrm{~A}=\sqrt{2} \mathrm{a}$ ，则 $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=(\quad)$

5．（5分）（2011•辽宁）从 $1,2,3,4,5$ 中任取 2 个不同的数，事件A：＂取到的 2 个数之和为偶数＂，事件 B ：＂取到的 2 个数均为偶数＂，则 $\mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \mathrm{A})=$

6．（5分）（2011•辽宁）执行如图的程序框图，如果输入的 n 是 4 ，则输出的 p 是（ ） 

7．（5分）（2011•辽宁）设 $\sin \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=\frac{1}{3}$ ，则 $\sin 2 \theta=~(\quad)$

8．（5分）（2011•辽宁）如图，四棱锥 $\mathrm{S}-\mathrm{ABCD}$ 的底面为正方形， $\mathrm{SD} \perp$ 底面 ABCD ，则下列结论中不正确的是 

9．（5分）（2011．辽宁）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{1-x}, x \leqslant 1 \\ 1-\log _{2} x, x>1\end{array}\right.$ ，则满足 $f(x) \leqslant 2$ 的 $x$ 的取值范围是（ ）

10．（5分）（2011•辽宁）若 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ ， $(\vec{a}-\vec{c}) \cdot(\vec{b}-\vec{c}) \leqslant 0$ ，则 $|\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}|$ 的最大值为（ ）

11．（5分）（2011•辽宁）函数 $f(x)$ 的定义域为 $R, f(-1)=2$ ，对任意 $x \in R, f^{\prime}(x) >2$ ，则 $f(x)>2 x+4$ 的解集为（ ）

12．（5分）（2011 •辽宁）已知球的直径 $S C=4, A, B$ 是该球球面上的两点，$A B=\sqrt{3}, \angle A S C =\angle \mathrm{BSC}=30^{\circ}$ ，则棱锥 $\mathrm{S}-\mathrm{ABC}$ 的体积为（）

13．（5分）（2011•辽宁）已知点 $(2,3)$ 在双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 上，C的焦距为 4 ，则它的离心率为 $\_\_\_\_$ 2 ．

14．（5分）（2011 •辽宁）调查了某地若干户家庭的年收 x （单位：万元）和年饮食支出 y （单位：万元），调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系，井由调查数据得到 y对 x 的回归直线方程 $\mathrm{y}=0.254 \mathrm{x}+0.321$ ．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加 $\_\_\_\_$ 0.254万元．

15．（5分）（2011•辽宁）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 $2 \sqrt{3}$ ，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 $\_\_\_\_$ $2 \sqrt{3}$ ．  俯视图

16．（5分）（2011•辽宁）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{Atan}(\omega \mathrm{x}+\phi)\left(\omega>0,|\phi|<\frac{\pi}{2}\right), \mathrm{y}=\mathrm{f}$ （x）的部分图象如图，则 $f\left(\frac{\pi}{24}\right)=$ $\_\_\_\_$ $\sqrt{3}$ ． 

17．（12分）（2011•辽宁）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}=0, a_{6}+a_{8}=-10$ （I）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式； （II）求数列 $\left\{\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{2^{\mathrm{n}-1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

18．（12分）（2011 •辽宁）如图，四边形 ABCD 为正方形， $\mathrm{PD} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{PD} / / \mathrm{QA}, \mathrm{QA}=\mathrm{AB}= \frac{1}{2} \mathrm{PD}$. （ I ）证明：平面 $\mathrm{PQC} \perp$ 平面 DCQ （II）求二面角 $\mathrm{Q}-\mathrm{BP}-\mathrm{C}$ 的余弦值。 

19．（12分）（2011－辽宁）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成 n 小块地，在总共 2 n小块地中，随机选 n 小块地种植品种甲，另外 n 小块地种植品种乙。 （I）假设 $\mathrm{n}=4$ ，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为 X ，求 X 的分布列和数学期望； （II）试验时每大块地分成 8 小块，即 $\mathrm{n}=8$ ，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位： $\mathrm{kg} / \mathrm{hm}^{2}$ ）如下表： | 品种甲 | 403 | 397 | 390 | 404 | 388 | 400 | 412 | 406 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 品种乙 | 419 | 403 | 412 | 418 | 408 | 423 | 400 | 413 | 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 附：样本数据 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \cdots, \mathrm{x}_{\mathrm{a}}$ 的样本方差 $\mathrm{s}^{2}=\frac{1}{\mathrm{n}}\left[\left(\mathrm{x}_{1}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\left(\mathrm{x}_{1}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\cdots+\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}\right]$ ，其中 $\overline{\mathrm{x}}$ 为样本平均数。

20．（12分）（2011 •辽宁）如图，已知椭圆 $C_{1}$ 的中心在原点 0 ，长轴左、右端点 $M$ ，$N$ 在 $x$ 轴上．椭圆 $\mathrm{C}_{2}$ 的短轴为 MN ，且 $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}$ 的离心率都为 e ．直线 $1 \perp \mathrm{MN}$ ． 1 与 $\mathrm{C}_{1}$ 交于两点，与 $\mathrm{C}_{2}$ 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 $\mathrm{A} , \mathrm{~B} , \mathrm{C} , \mathrm{D}$ ． （I） $\mathrm{e}=\frac{1}{2}$ ，求 $|\mathrm{BC}|$ 与 $|\mathrm{AD}|$ 的比值； （II）当 e 变化时，是否存在直线 1 ，使得 $\mathrm{BO} / / \mathrm{AN}$ ，并说明理由． 

21．（12分）（2011•辽宁）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}-\mathrm{ax}^{2}+(2-\mathrm{a}) \mathrm{x}$ ． （I）讨论 $f(x)$ 的单调性； （II）设 $\mathrm{a}>0$ ，证明：当 $0<\mathrm{x}<\frac{1}{\mathrm{a}}$ 时， $\mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{a}}+\mathrm{x}\right)>\mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{a}}-\mathrm{x}\right)$ ； （III）若函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}$（ x ）的图象与 x 轴交于 A ， B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 $\mathrm{x}_{0}$ ，证明： $\mathrm{f}^{\prime} \left(\mathrm{x}_{0}\right)<0$.

22．（10分）（2011－辽宁）如图， $\mathrm{A} , \mathrm{~B} , \mathrm{C} , \mathrm{D}$ 四点在同一圆上， AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点，且 $\mathrm{EC}=\mathrm{ED}$ ． （ I ）证明： $\mathrm{CD} / / \mathrm{AB}$ ； （II）延长 CD 到 F ，延长 DC 到 G ，使得 $\mathrm{EF}=\mathrm{EG}$ ，证明： $\mathrm{A} , \mathrm{~B} , \mathrm{G} , \mathrm{~F}$ 四点共圆． 

23．（2011 •辽宁）在平面直角坐标系 x 0 y 中，曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\cos \phi \\ \mathrm{y}=\sin \phi\end{array}\right.$（ $\phi$ 为参数 ），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos \phi \\ y=b \sin \phi\end{array}(a>b>0, \phi\right.$ 为参数）在以 0 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线1：$\theta=\alpha$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 各有一个交点．当 $\alpha=0$ 时，这两个交点间的距离为 2 ，当 $a=\frac{\pi}{2}$ 时，这两个交点重合． （I）分别说明 $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}$ 是什么曲线，并求出 a 与 b 的值； （II）设当 $\alpha=\frac{\pi}{4}$ 时， 1 与 $C_{1}, C_{2}$ 的交点分别为 $A_{1}, B_{1}$ ，当 $\alpha=-\frac{\pi}{4}$ 时， 1 与 $C_{1}, C_{2}$ 的交点为 $A_{2}$ ，$B_{2}$ ，求四边形 $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ 的面积．

24．（2011－辽宁）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-2|-|\mathrm{x}-5|$ （ I ）证明：$-3 \leqslant f(x) \leqslant 3$ ； （II）求不等式 $f(x) \geqslant x^{2}-8 x+15$ 的解集。