2013 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

（1）已知集合 $U=\{1,2,3,4\}$ ，集合 $A=\{1,2\}, B=\{2,3\}$ ，则 $C_{U}(A \cup B)=$

（2）命题＂对任意 $x \in R$ ，都有 $x^{2} \geq 0$＂的否定为

（3）$\sqrt{(3-a)(a+6)}(-6 \leq a \leq 3)$ 的最大值为

（4）以下茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）。

已知甲组数据的中位数为 15 ，乙组数据的平均数为 16.8 ，则 $x , y$ 的值分别为

（5）某几何体的三视图如题（5）图所示，则该几何体的体积为

（6）若 $a<b<c$ ，则函数 $f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)$ 两个零点分别位于区间

（7）已知圆 $C_{1}:(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ ，圆 $C_{2}:(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=9, M , N$ 分别是圆
$C_{1} , C_{2}$ 上的动点，$P$ 为 $x$ 轴上的动点，则 $|P M|+|P N|$ 的最小值为

（8）执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出 $S=3$ ，那么判断框内应填入的条件是

（9） $4 \cos 50^{\circ}-\tan 40^{\circ}=$

（10）在平面上， $\overrightarrow{A B_{1}} \perp \overrightarrow{A B_{2}},\left|\overrightarrow{O B_{1}}\right|=\left|\overrightarrow{O B_{2}}\right|=1, \overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A B_{1}}+\overrightarrow{A B_{2}}$ ．若 $|\overrightarrow{O P}|<\frac{1}{2}$ ，则 $|\overrightarrow{O A}|$ 的取值范围是

（11）已知复数 $z=\frac{5 i}{1+2 i}$（ $i$ 是虚数单位），则 $|z|=$ $\_\_\_\_$ ．

（12）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{1}=1$ ，公差 $d \neq 0, S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $a_{1} , a_{2} , a_{5}$ 成等比数列，则 $S_{8}=$ $\_\_\_\_$ ．

（13）从 3 名骨科、 4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 $\_\_\_\_$ （用数字作答）。

（15）在直角坐标系 $x O y$ 中，以原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为 $\rho \cos \theta=4$ 的直线与曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t^{2} \\ y=t^{3}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）相交于 $A , B$ 两点，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$ ．

（16）若关于实数 $x$ 的不等式 $|x-5|+|x+3|<a$ 无解，则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

（17）（本小题满分 13 分，（I）小问 6 分，（II）小问 7 分）
设 $f(x)=a(x-5)^{2}+6 \ln x$ ，其中 $a \in R$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f①)$ 处的切线与 $y$ 轴相较于点（ 0,6 ）．（I）确定 $a$ 的值；（II）求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值．

（18）（本小题满分 13 分，（I）小问 5 分，（II）小问 8 分）
某商场举行的＂三色球＂购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个篮球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球，根据摸出 4 个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级。（I）求一次摸球恰好摸到 1 个红球的概率；
（II）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 $X$ 的分布列与期望 $E(X)$ 。

（19）（本小题满分 13 分，（I）小问5分，（II）小问8分）
如题（19）图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 底面 $A B C D, B C=C D=2, A C=4$ ， $\angle A C B=\angle A C D=\frac{\pi}{3}, F$ 为 $P C$ 的中点，$A F \perp P B$ ．（I）求 $P A$ 的长；（II）求二面角 $B-A F-D$的余弦值。

（20）（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问8分）
在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A , B , C$ 的对边分别是 $a , b , c$ ，且 $a^{2}+b^{2}+\sqrt{2} a b=c^{2}$ ．
（I）求 $C$ ；（II）设 $\cos A \cos B=\frac{3 \sqrt{2}}{5}, \frac{\cos (\alpha+A) \cos (\alpha+B)}{\cos ^{2} \alpha}=\frac{\sqrt{2}}{5}$ ，求 $\tan \alpha$ 的值．

（21）（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分）
如题（21）图，椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A , A^{\prime}$ 两点，$\left|A A^{\prime}\right|=4$ 。（I）求该椭圆的标准方程；
（II）取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 $P , P^{\prime}$ ，过 $P , P^{\prime}$作圆心为 $Q$ 的圆，使陏圆上的其余点均在圆 $Q$ 外．若 $P Q \perp P^{\prime} Q$ ，求圆 $Q$

题（21）图

（22）（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问8分）
对正整数 $n$ ，记 $I_{n}=\{1,2,3, \cdots, n\}, P_{n}=\left\{\left.\frac{m}{\sqrt{k}} \right\rvert\, m \in I_{n}, k \in I_{n}\right\}$ 。（I）求集合 $P_{7}$ 中元素的个数；

（II）若 $P_{n}$ 的子集 $A$ 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 $A$ 为＂稀疏集＂．求 $n$ 的最大值，使 $P_{n}$ 能分成两个不相交的稀疏集的并．