2013 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．设集合 $A=\{x \mid x+2=0\}$，集合 $B=\left\{x \mid x^{2}-4=0\right\}$，则 $A \cap B=$

2．如图，在复平面内，点 $A$ 表示复数 $z$，则图中表示 $z$ 的共轭复数的点是

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是

（A）

（B）

（C）

4．设 $x \in Z$，集合 $A$ 是奇数集，集合 $B$ 是偶数集．若命题 $p: \forall x \in A, 2 x \in B$，则

5．函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的部分图象如图所示，则 $\omega, \varphi$ 的值分别是

6．抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点到双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的渐近线的距离是

7．函数 $y=\frac{x^{3}}{3^{x}-1}$ 的图象大致是

8．从 $1,3,5,7,9$ 这五个数中，每次取出两个不同的数分别为 $a, b$，共可得到 $\lg a-\lg b$ 的不同值的个数是

9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是

10．设函数 $f(x)=\sqrt{e^{x}+x-a} \quad\left(a \in R, e\right.$ 为自然对数的底数）．若曲线 $y=\sin x$ 上存在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$使得 $f\left(f\left(y_{0}\right)\right)=y_{0}$，则 $a$ 的取值范围是

11．二项式 $(x+y)^{5}$ 的展开式中，含 $x^{2} y^{3}$ 的项的系数是 $\_\_\_\_$．（用数字作答）

12．在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O, \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{A O}$，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$。

13．设 $\sin 2 \alpha=-\sin \alpha, \alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，则 $\tan 2 \alpha$ 的值是 $\_\_\_\_$．

14．已知 $f(x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x)=x^{2}-4 x$，那么，不等式 $f(x+2)<5$的解集是 $\_\_\_\_$。

15．设 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{n}$ 为平面 $\alpha$ 内的 $n$ 个点，在平面 $\alpha$ 内的所有点中，若点 $P$ 到 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{n}$ 点的距离之和最小，则称点 $P$ 为 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{n}$ 点的一个＂中位点＂．例如，线段 $A B$ 上的任意点都是端点 $A, B$的中位点．则有下列命题：
①若 $A, B, C$ 三个点共线，$C$ 在线段上，则 $C$ 是 $A, B, C$ 的中位点；
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点 $A, B, C, D$ 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点。
其中的真命题是 $\_\_\_\_$．（写出所有真命题的序号）

16．（本小题满分 12 分）
在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}+a_{3}=8$，且 $a_{4}$ 为 $a_{2}$ 和 $a_{9}$ 的等比中项，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项、公差及前 $n$ 项和。

17．（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，且
$2 \cos ^{2} \frac{A-B}{2} \cos B-\sin (A-B) \sin B+\cos (A+C)=-\frac{3}{5}$．
（I）求 $\cos A$ 的值；
（II）若 $a=4 \sqrt{2}, b=5$，求向量 $\overrightarrow{B A}$ 在 $\overrightarrow{B C}$ 方向上的投影．

18．（本小题满分 12 分）
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$ 在 $1,2,3, \cdots, 24$ 这 24 个整数中等可能随机产生．
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$ 的值为 $i$ 的概率 $P_{i}(i=1,2,3)$；

（II）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 $n$ 次后，统计记录了输出 $y$ 的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。

甲的频数统计表（部分）

乙的频数统计表（部分）

当 $n=2100$ 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；
（III）按程序框图正确编写的程序运行 3 次，求输出 $y$ 的值为 2 的次数 $\xi$ 的分布列及数学期望。

19．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C$ 中，侧棱 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C, A B=A C=2 A A_{1}$， $\angle B A C=120^{\circ}, D, D_{1}$ 分别是线段 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$P$ 是线段 $A D$ 的中点．
（I）在平面 $A B C$ 内，试作出过点 $P$ 与平面 $A_{1} B C$ 平行的直线 $l$，说明理由，并证明直线 $l \perp$平面 $A D D_{1} A_{1}$；
（II）设（I）中的直线 $l$ 交 $A B$ 于点 $M$，交 $A C$ 于点 $N$，求二面角 $A-A_{1} M-N$ 的余弦值．

20．（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$，且椭圆 $C$ 经过点 $P\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$．
（I）求椭圆 $C$ 的离心率；
（II）设过点 $A(0,2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，点 $Q$ 是线段 $M N$ 上的点，且 $\frac{2}{|A Q|^{2}}=\frac{1}{|A M|^{2}}+\frac{1}{|A N|^{2}}$，求点 $Q$ 的轨迹方程．

21．（本小题满分 14 分）

已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 x+a, x<0 \\ \ln x, x>0\end{array}\right.$, 其中 $a$ 是实数．设 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right), B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 为该函数图象上的两点，且 $x_{1}<x_{2}$．
（I）指出函数 $f(x)$ 的单调区间；
（II）若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线互相垂直，且 $x_{2}<0$，求 $x_{2}-x_{1}$ 的最小值；
（III）若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线重合，求 $a$ 的取值范围．