2013 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．复数的 $Z=-1-2 i$（ $i$ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于模为

2．设点 $P(x, y)$，则＂$x=2$ 且 $y=-1$＂是＂点 $P$ 在直线 $l: x+y-1=0$ 上＂的

3．若集合 $A=\{1,2,3\}, B=\{1,3,4\}$，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}$ 的子集个数为

4．双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的顶点到其渐近线的距离等于

5．函数 $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$ 的图像大致是

A

B

C

D

6．若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leq 2 \\ x \geq 1, \\ y \geq 0,\end{array}\right.$ 则 $z=2 x+y$ 的最大值和最小值分别为

7．若 $2^{x}+2^{y}=1$，则 $x+y$ 的取值范围是

8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数 $n$ 后，输出的 $S \in(10,20)$，那么 $n$ 的值为

9．将函数 $f(x)=\sin (2 x+\theta)\left(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$ 的图像向右平移 $\varphi(\varphi>1)$ 个单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图像，若 $f(x), g(x)$ 的图像都经过点 $P\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，则 $\varphi$ 的值可以是

10．在四边形 $A B C D$ 中， $\overrightarrow{A C}=(1,2), \overrightarrow{B D}=(-4,2)$，则该四边形的面积为

11．已知 $x$ 与 $y$ 之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 $\dot{y}=\dot{b} x+\dot{a}$，若某同学根据上表

中的前两组数据 $(1,0)$ 和 $(2,2)$ 求得的直线方程为 $y^{\prime}=b^{\prime} x+a^{\prime}$，则以下结论正确的是

12．设函数 $f(x)$ 的定义域为 $R, x_{0}\left(x_{0} \neq 0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值点，以下结论一定正确的是

13．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x^{3}, x<0, \\ -\tan x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2},\end{array}\right.$ 则 $f\left(f\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=$

14．利用计算机产生 $0 \sim 1$ 之间的均匀随机数 $a$，则事件＂ $3 a-1<0$＂发生的概率为

15．椭圆 $r: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，焦距为 $2 c$．若直线 $y=\sqrt{3}(x+c)$ 与椭圆 r 的一个交点 $M$ 满足 $\angle M F_{1} F_{2}=2 \angle M F_{2} F_{1}$，则该椭圆的离心率等于

16．设 $\mathrm{S}, \mathrm{T}$ 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 $y=f(x)$ 满足：
（i）$T=\{f(x) \mid x \in S\}$；（ii）对任意 $x_{1}, x_{2} \in S$，当 $x_{1}<x_{2}$ 时，恒有 $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$，那么称这两个集合＂保序同构＂，现给出以下 3 对集合：
①$A=N, B=N^{*}$；
②$A=\{x \mid-1 \leq x \leq 3\}, B=\{x \mid-8 \leq x \leq 10\}$；
③$A=\{x \mid 0 \leq x \leq 1\}, B=R$．
其中，＂保序同构＂的集合对的序号是 $\_\_\_\_$．（写出＂保序同构＂的集合对的序号）．

17．（本小题满分 12 分）

已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差 $d=1$，前 $n$ 项和为 $S_{n}$．（I）若 $1, a_{1}, a_{3}$ 成等比数列，求 $a_{1}$；
（II）若 $S_{5}>a_{1} a_{9}$，求 $a_{1}$ 的取值范围。

18．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱柱 $P-A B C D$ 中， $\mathrm{PD} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, A B / / D C$，
$A B \perp A D, B C=5, D C=3, A D=4, \angle P A D=60^{\circ}$．
（I）当正视方向与向量 $\overrightarrow{A D}$ 的方向相同时，画出四棱锥 $P-A B C D$ 的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
（II）若 M 为 PA 的中点，求证：求二面角 $D M / /$ 平面 $P B C$；
（III）求三棱锥 $D-P B C$ 的体积．

19．（本小题满分 12 分）
某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名， 25 周岁以下工人 200 名。为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在＂25周岁以上（含 25 周岁）＂和＂ 25 周岁以下＂分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为 5 组：$[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)$ 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（I）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名＂ 25 周岁以下组＂工人的概率；
（II）规定日平均生产件数不少于 80 件者为＂生产能手＂，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有 $90 \%$ 的把握认为＂生产能手与工人所在的年龄组有关＂？

附：$x^{2}=\frac{n\left(n_{11} n_{22}-n_{12} n_{21}\right)}{n_{1 *} n_{2 *} n_{* 1} n_{* 2}}$（注：此公式也可以写成 $\mathbf{k}^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ）

25 周岁以上组

25 周岁以下组

20．（本小题满分 12 分）

如图，抛物线 $E: y^{2}=4 x$ 的焦点为 F，准线 $l$ 与 x 轴的交点为 A．点 C 在抛物线 E 上，以 C 为圆

心，$|C O|$ 为半径作圆，设圆 C 与准线 $l$ 交于不同的两点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$．
（I）若点 C 的纵坐标为 2，求 $|M N|$；
（II）若 $|A F|^{2}=|A M| \cdot|A N|$，求圆 C 的半径．

21．（本小题满分 12 分）

如图，在等腰直角 $\triangle O P Q$ 中，$\angle P O Q=90^{\circ}, O P=2 \sqrt{2}$，点 $M$ 在线段 $P Q$ 上．
（I）若 $O M=\sqrt{5}$，求 $P M$ 的长；
（II）若点 $N$ 在线段 $M Q$ 上，且 $\angle M O N=30^{\circ}$，问：当 $\angle P O M$ 取何值时，$\triangle O M N$ 的面积最小？并求出面积的最小值．

22．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=x-1+\frac{a}{e^{x}} \quad(a \in R, e$ 为自然对数的底数 $)$
（I）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(x))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求 $a$ 的值；
（II）求函数 $f(x)$ 的极值；
（III）当 $a=1$ 时，若直线 $l: y=k x-1$ 与曲线 $y=f(x)$ 没有公共点，求 $k$ 的最大值．