2013 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．已知全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$，集合 $A=\{1,2\}, B=\{2,3,4\}$，则 $B \cap \cap_{U} A=$

2．已知 $0<\theta<\frac{\pi}{4}$，则双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{\sin ^{2} \theta}-\frac{y^{2}}{\cos ^{2} \theta}=1$ 与 $C_{2}: \frac{y^{2}}{\cos ^{2} \theta}-\frac{x^{2}}{\sin ^{2} \theta}=1$ 的

3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次。设命题 $p$ 是＂甲降落在指定范围＂，$q$是＂乙降落在指定范围＂，则命题＂至少有一位学员没有降落在指定范围＂可表示为

4．四名同学根据各自的样本数据研究变量 $x, y$ 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①$y$ 与 $x$ 负相关且 $\hat{y}=2.347 x-6.423$ ；
②$y$ 与 $x$ 负相关且 $\hat{y}=-3.476 x+5.648$ ；
③$y$ 与 $x$ 正相关且 $\hat{y}=5.437 x+8.493$ ；
④$y$ 与 $x$ 正相关且 $\hat{y}=-4.326 x-4.578$ ．

其中一定不正确的结论的序号是

5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是

A

B

6．将函数 $y=\sqrt{3} \cos x+\sin x(x \in \mathbf{R})$ 的图象向左平移 $m(m>0)$ 个单位长度后，所得到的图象关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的最小值是

7．已知点 $A(-1,1), B(1,2), C(-2,-1), D(3,4)$，则向量 $\overrightarrow{A B}$ 在 $\overrightarrow{C D}$ 方向上的投影为

8．$x$ 为实数，$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则函数 $f(x)=x-[x]$ 在 $\mathbf{R}$ 上为

9．某旅行社租用 $A, B$ 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，$A, B$ 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1600 元／辆和 2400 元／辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 $B$ 型车不多于 $A$ 型车 7 辆．则租金最少为

10．已知函数 $f(x)=x(\ln x-a x)$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是

11．i 为虚数单位，设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的点关于原点对称，若 $z_{1}=2-3 \mathrm{i}$，则 $z_{2}=$

第13题图

12．某学员在一次射击测试中射靶 10 次，命中环数如下：

$ 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 $

则（I）平均命中环数为 $\_\_\_\_$；
（II）命中环数的标准差为 $\_\_\_\_$．

13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入 $m$ 的值为 2，
则输出的结果 $i=$ $\_\_\_\_$．

14．已知圆 $O: x^{2}+y^{2}=5$，直线 $l: x \cos \theta+y \sin \theta=1 \quad\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$．设圆 $O$ 上到直线 $l$ 的距离等于 1 的点的个数为 $k$，则 $k=$

15．在区间 $[-2,4]$ 上随机地取一个数 $x$，若 $x$ 满足 $|x| \leq m$ 的概率为 $\frac{5}{6}$，
则 $m=$ $\_\_\_\_$．

16．我国古代数学名著《数书九章》中有＂天池盆测雨＂题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水。天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸。若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 $\_\_\_\_$寸。
（注：（1）平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；（2）一尺等于十寸）

17．在平面直角坐标系中，若点 $P(x, y)$ 的坐标 $x, y$ 均为整数，则称点 $P$ 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形。格点多边形的面积记为 $S$，其内部的格点数记为 $N$，边界上的格点数记为 $L$．例如图中 $\triangle A B C$ 是格点三角形，对应的 $S=1$， $N=0, ~ L=4$。

（I）图中格点四边形 $D E F G$ 对应的 $S, N, L$ 分别是 $\_\_\_\_$ $;$
（II）已知格点多边形的面积可表示为 $S=a N+b L+c$，其中 $a, b, c$ 为常数．若某格点多边形对应的 $N=71, L=18$，则 $S=$ $\_\_\_\_$ （用数值作答）。

18．（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对应的边分别是 $a, b, c$．已知 $\cos 2 A-3 \cos (B+C)=1$．
（I）求角 $A$ 的大小；
（II）若 $\triangle A B C$ 的面积 $S=5 \sqrt{3}, \quad b=5$，求 $\sin B \sin C$ 的值．

19．（本小题满分 13 分）
已知 $S_{n}$ 是等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{4}, S_{2}, S_{3}$ 成等差数列，且 $a_{2}+a_{3}+a_{4}=-18$．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）是否存在正整数 $n$，使得 $S_{n} \geq 2013$ ？若存在，求出符合条件的所有 $n$ 的集合；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分 13 分）
如图，某地质队自水平地面 $A, B, C$ 三处垂直向地下钻探，自 $A$ 点向下钻到 $A_{1}$ 处发现矿藏，再继续下钻到 $A_{2}$ 处后下面已无矿，从而得到在 $A$ 处正下方的矿层厚度为 $A_{1} A_{2}=d_{1}$。同样可

得在 $B, C$ 处正下方的矿层厚度分别为 $B_{1} B_{2}=d_{2}, C_{1} C_{2}=d_{3}$，且 $d_{1}<d_{2}<d_{3}$．过 $A B, A C$的中点 $M, N$ 且与直线 $A A_{2}$ 平行的平面截多面体 $A_{1} B_{1} C_{1}-A_{2} B_{2} C_{2}$ 所得的截面 $D E F G$ 为该多面体的一个中截面，其面积记为 $S_{\text {中 }}$．
（I）证明：中截面 $D E F G$ 是梯形；
（II）在 $\triangle A B C$ 中，记 $B C=a, B C$ 边上的高为 $h$，面积为 $S$．在估测三角形 $A B C$ 区域内正下方的矿藏储量（即多面体 $A_{1} B_{1} C_{1}-A_{2} B_{2} C_{2}$ 的体积 $V$ ）时，可用近似公式 $V_{\text {估 }}=S_{\text {中 }} \cdot h$ 来估算．已知 $V=\frac{1}{3}\left(d_{1}+d_{2}+d_{3}\right) S$，试判断 $V_{\text {估 }}$ 与 $V$ 的大小关系，并加以证明．

第 20 题图

21．（本小题满分 13 分）
设 $a>0, b>0$，已知函数 $f(x)=\frac{a x+b}{x+1}$．
（I）当 $a \neq b$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（II）当 $x>0$ 时，称 $f(x)$ 为 $a, b$ 关于 $x$ 的加权平均数．
（i）判断 $f①, f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right), f\left(\frac{b}{a}\right)$ 是否成等比数列，并证明 $f\left(\frac{b}{a}\right) \leq f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$；
（ii）$a, b$ 的几何平均数记为 $G$．称 $\frac{2 a b}{a+b}$ 为 $a, b$ 的调和平均数，记为 $H$．
若 $H \leq f(x) \leq G$，求 $x$ 的取值范围．