2013 北京卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5 分）已知集合 $\mathrm{A}=\{-1,0,1\}, \mathrm{B}=\{\mathrm{x} \mid-1 \leqslant \mathrm{x}<1\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$（）

1． （5分）已知集合$A={$﹣1，0，1}，$B={x|$﹣1≤x＜1}，则A∩$B=$（　　）
A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}

2．（5 分）在复平面内，复数 $(2-i)^{2}$ 对应的点位于

3．（5 分）＂$\phi=\pi$＂是＂曲线 $y=\sin (2 x+\phi)$ 过坐标原点＂的（ ）

3． （5分）“φ=π”是“曲线$y=sin$（2x+φ）过坐标原点”的（　　）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

4．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）

5．（5 分）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 关于 $y$ 轴对称，则 $f(x)=(\quad)$

6．（5 分）若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为（ ）

6． （5分）若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（　　）
A．$y=$±2x B．C．D．

7．（5 分）直线 $l$ 过抛物线 C：$x^{2}=4 y$ 的焦点且与 $y$ 轴垂直，则 I 与 $C$ 所围成的图形的面积等于

8．（5 分）设关于 $x, y$ 的不等式组 $\left\{\begin{array}{l}2 x-y+1>0, \\ x+m<0, \\ y-m>0\end{array} \quad\right.$ 表示的平面区域内存在点 $P \left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，满足 $x_{0}-2 y_{0}=2$ ，求得 $m$ 的取值范围是（）

9．（5 分）在极坐标系中，点 $\left(2, \frac{\pi}{6}\right)$ 到直线 $\rho \sin \theta=2$ 的距离等于 $\_\_\_\_$ 1 ．

10．（5 分）若等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}+a_{5}=40$ ，则公比 $q=$ $\_\_\_\_$ 2 ；前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=$ $\_\_\_\_$ $2^{\mathrm{n}+1}-2$。

11．（5 分）如图， AB 为圆 O 的直径， PA 为圆 O 的切线， PB 与圆 O 相交于 D ，若 $P A=3, P D: ~ D B=9: 16$ ，则 $P D=-\frac{9}{5} —, A B=$ $\_\_\_\_$ 4 ．

12．（5 分）将序号分别为 $1,2,3,4,5$ 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是 $\_\_\_\_$ 96 ．

13．（5分）向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若 $\vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}(\lambda$ ， $\mu \in R$ ），则 $\frac{\lambda}{\mu}=4$ ．

14．（5分）如图，在棱长为2的正方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 中， E 为 BC 的中点，点 $P$ 在线段 $D_{1} E$ 上，点 $P$ 到直线 $C C_{1}$ 的距离的最小值为 $\_\_\_\_$ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

15．（13 分）在 $\triangle A B C$ 中，$a=3, b=2 \sqrt{6}, \angle B=2 \angle A$ ．
（I）求 $\cos \mathrm{A}$ 的值；
（II）求 c 的值．

16．（13 分）如图是预测到的某地 5 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天

（I）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（II）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望
（III）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

17．（14分）如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A_{1} A_{1} C$ 是边长为 4 的正方形．平面 $A B C \perp$ 平面 $A A_{1} C_{1} C, A B=3, B C=5$ ．
（I）求证： $\mathrm{AA}_{1} \perp$ 平面 ABC ；
（II）求证二面角 $A_{1}-B C_{1}-B_{1}$ 的余弦值；
（III）证明：在线段 $B C_{1}$ 上存在点 $D$ ，使得 $A D \perp A_{1} B$ ，并求 $\frac{B D}{B C_{1}}$ 的值．

18．（13 分）设 I 为曲线 C： $\mathrm{y}=\frac{\ln \mathrm{x}}{\mathrm{x}}$ 在点 $(1,0)$ 处的切线．
（I）求 $I$ 的方程；
（II）证明：除切点 $(1,0)$ 之外，曲线 C 在直线 $l$ 的下方．

19．（14 分）已知 $A, B, C$ 是椭圆 $W: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 上的三个点，$O$ 是坐标原点．
（I）当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积；
（II）当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由。

20．（13 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 $n$ 项的最大值记为 $A_{n}$ ，第 $n$ 项之后各项 $a_{n+1}, a_{n+2} \ldots$ 的最小值记为 $B_{n}, d_{n}=A_{n}-B_{n}$ ．
（I）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为 $2,1,4,3,2,1,4,3 \ldots$ ，是一个周期为 4 的数列（即对任意 $\left.n \in N^{*}, a_{n+4}=a_{n}\right)$ ，写出 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ 的值；
（II）设 $d$ 是非负整数，证明：$d_{n}=-d(n=1,2,3 \ldots)$ 的充分必要条件为 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 d 的等差数列；
（III）证明：若 $a_{1}=2, d_{n}=1(n=1,2,3, \ldots)$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的项只能是 1 或者 2 ，且有无穷多项为 1 ．