2013 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（2013广东，文1）设集合 $S=\left\{x \mid x^{2}+2 x=0, x \in \mathbf{R}\right\}, ~ T=\left\{x \mid x^{2}-2 x=0, x \in \mathbf{R}\right\}$ ，则 $S \cap T=$ ．

2．(2013广东，文2)函数 $lg 11xyx( + )=-$
的定义域是(　　)．

3．(2013广东，文3)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是(　　)．

4．（2013广东，文4）已知 $\sin \left(\frac{5 \pi}{2}+\alpha\right)=\frac{1}{5}$ ，那么 $\cos a=$ ．

5．（2013广东，文5）执行如图所示的程序框图，若输入 $n$ 的值为 3 ，则输出 $s$的值是 。

6．（2013广东，文6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 $\_\_\_\_$ ）．

正视图

侧视图

俯视图

7．（2013广东，文7）垂直于直线 $y=x+1$ 且与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 相切于第 I 象限的直线方程是 ．

8．（2013广东，文8）设 $l$ 为直线，$a, \beta$ 是两个不同的平面．下列命题中正确的是 ．

10．（2013广东，文10）设 $\boldsymbol{a}$ 是已知的平面向量且 $\boldsymbol{a} \neq 0$ ．关于向量 $\boldsymbol{a}$ 的分解，有如下四个命题：
①给定向量 $b$ ，总存在向量 $c$ ，使 $a=b+c$ ；
②给定向量 $\boldsymbol{b}$ 和 $\boldsymbol{c}$ ，总存在实数 $\lambda$ 和 $\mu$ ，使 $\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b}+\mu \boldsymbol{c}$ ；
③给定单位向量 $\boldsymbol{b}$ 和正数 $\mu$ ，总存在单位向量 $\boldsymbol{c}$ 和实数 $\lambda$ ，使 $\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b}+\mu \boldsymbol{c}$ ；
④给定正数 $\lambda$ 和 $\mu$ ，总存在单位向量 $b$ 和单位向量 $c$ ，使 $a=\lambda b+\mu c$ ．
上述命题中的向量 $b, c$ 和 $a$ 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）。

10．(2013广东，文10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.
上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是(　　)．

11．（2013广东，文11）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 ，公比为 -2 的等比数列，则 $a_{1}+\left|a_{2}\right|+a_{3}+\left|a_{4}\right|=$ $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ ．

12．（2013广东，文12）若曲线 $y=a x^{2}-\ln x$ 在 $(1, a)$ 处的切线平行于 $x$ 轴，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

13．（2013广东，文13）已知变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y+3 \geq 0, \\ -1 \leq x \leq 1, \\ y \geq 1,\end{array}\right.$ 则 ${ }_{Z}=x+y$ 的最大值是 $\_\_\_\_$

14．（2013广东，文14）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta$ ．以极点为原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 $C$ 的参数方程为 $\_\_\_\_$ ．

15．（2013广东，文15）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形 $A B C D$ 中，$A B=\sqrt{3}, B C=3, B E \perp A C$ ，垂足为 $E$ ，则 $E D=$ $\_\_\_\_$。

16．（2013广东，文 16 ）（本小题满分 12 分）已知函数 $f(x)=\sqrt{2} \cos \left(x-\frac{\pi}{12}\right), x \in \mathrm{R}$ ．
（1）求 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)$ 的值；
（2）若 $\cos \quad \theta=\frac{3}{5}, \quad \theta \in\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$ ，求 $f\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)$ ．

17．（2013广东，文17）（本小题满分 12 分）从一批苹果中，随机抽取 50 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

（1）根据频数分布表计算苹果的重量在［90，95）的频率；

（2）用分层抽样的方法从重量在［80，85）和［95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在［80，85）的有几个？
（3）在（2）中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在［80，85）和［95，100）中各有 1 个的概率．

18．（2013广东，文18）（本小题满分14分）如图（1），在边长为 1 的等边三角形 $A B C$ 中，$D, E$ 分别是 $A B, A C$ 上的点，$A D=A E, F$ 是 $B C$ 的中点，$A F$ 与 $D E$ 交于点 $G$ ．将 $\triangle A B F$ 沿 $A F$ 折起，得到如图（2）所示的三棱锥 $A-B C F$ ，其中 $B C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

图（1）

图（2）

（1）证明：$D E \|$ 平面 $B C F$ ；
（2）证明：$C F \perp$ 平面 $A B F$ ；
（3）当 $A D=\frac{2}{3}$ 时，求三棱锥 $F-D E G$ 的体积 $V_{F-D E G}$ 。

19．（2013广东，文19）（本小题满分14分）设各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $4 S_{n}=a_{n+1}^{2}-4 n -1, n \in \mathrm{~N}^{*}$ ，且 $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 构成等比数列。
（1）证明：$a_{2}=\sqrt{4 a_{1}+5}$ ；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}<\frac{1}{2}$ ．

21．（2013广东，文21）（本小题满分14分）设函数 $f(x)=x^{3}-k x^{2}+x(k \in \mathbf{R})$ ．
①当 $k=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；
②当 $k<0$ 时，求函数 $f(x)$ 在 $[k,-k]$ 上的最小值 $m$ 和最大值 $M$ ．

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类（广东卷）