2015 江苏卷 数学

（5分）（2015•江苏）已知集合 $\mathrm{A}=\{1,2,3\}, \mathrm{B}=\{2,4,5\}$ ，则集合 $\mathrm{A} \cup \mathrm{B}$ 中元素的个数为 $\_\_\_\_$。

（5分）（2015•江苏）已知一组数据 $4,6,5,8,7,6$ ，那么这组数据的平均数为 $\_\_\_\_$ •

（5分）（2015•江苏）设复数 $z$ 满足 $z^{2}=3+4 i$（ $i$ 是虚数单位），则 $z$ 的模为 $\_\_\_\_$

（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 $\_\_\_\_$ ．

（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 $\_\_\_\_$。

（5分）（2015•江苏）已知向量 $\vec{a}=(2,1), \vec{b}=(1,-2)$ ，若 $m \vec{a}+n \vec{b}=(9,-8)$ （ $m$ ，$n \in R$ ），则 $m-n$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

（5分）（2015•江苏）不等式 $2 x^{2}-x<4$ 的解集为 $\_\_\_\_$ ．

（5分）（2015•江苏）已知 $\tan \alpha=-2, \tan (\alpha+\beta)=\frac{1}{7}$ ，则 $\tan \beta$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为 5 ，高为 4 的圆锥和底面半径为 2 ，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 $\_\_\_\_$。

（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，以点 $(1,0)$ 为圆心且与直线 $\mathrm{mx}-\mathrm{y} -2 m-1=0 \quad(m \in R)$ 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 $\_\_\_\_$。

（5分）（2015•江苏）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1$ ，且 $a_{n+1}-a_{n}=n+1 \quad\left(n \in N^{*}\right)$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$的前 10 项的和为 $\_\_\_\_$。

（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}=1$ 右支上的一个动点，若点 $P$ 到直线 $x-y+1=0$ 的距离大于 $c$ 恒成立，则实数 $c$ 的最大值为 $\_\_\_\_$。

（5分）（2015•江苏）已知函数 $f(x)=|\ln x|, g(x)=\left\{\begin{array}{l}0,0<x \leqslant 1 \\ \left|x^{2}-4\right|-2, x>1\end{array}\right.$ ，则方程 $|\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(\mathrm{x})|=1$ 实根的个数为 $\_\_\_\_$ ．

（5分）（2015•江苏）设向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}_{\mathrm{k}}}=\left(\cos \frac{\mathrm{k} \pi}{6}, \sin \frac{\mathrm{k} \pi}{6}+\cos \frac{\mathrm{k} \pi}{6}\right)(\mathrm{k}=0,1,2, \ldots, 12$ ），则 $\sum_{k=0}^{11}\left(a_{k} \cdot a_{k+1}\right)$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，$BC=CC1$
，设AB1的中点为D，B1C∩$BC1=E$．
求证：
①DE∥平面AA1C1C；

②BC1⊥AB1．

（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>$ 0 ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且右焦点 F 到左准线 1 的距离为 3 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 F 的直线与椭圆交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 $l$ 和 AB 于点 $\mathrm{P}, \mathrm{C}$ ，若 $\mathrm{PC}=2 \mathrm{AB}$ ，求直线 AB 的方程．

（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，$AB=AC$，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交B
C于点D．
求证：△ABD∽△AEB．

（10分）（2015•江苏）已知 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{\alpha}=\left[\begin{array}{l}1 \\ -1\end{array}\right]$ 是矩阵 $\left[\begin{array}{ll}x & 1 \\ y & 0\end{array}\right]$ 的属于特征值 -2的一个特征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值．