2013 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1、复数 $z$ 满组 $(z-3)(2-i)=5$（ $z$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 为

2、已知集合 $A=\{0,1,2\}$ ，则集合 $B=\{x-y \mid x \in A, y \in A\}$ 中元素的个数是

3、已知函数 $f(x)$ 为奇函数，且当 $x>0$ 时，$f(x)=x^{2}+\frac{1}{x}$ ，则 $f(-1)=$

4、已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面垂直，体积为 $\frac{9}{4}$ ，底面是边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，若 $P$ 为底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心，则 $P A$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小为

5、将函数 $y=\sin (2 x+\varphi)$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 $\varphi$ 的一个可能取值为

6、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$M$ 为不等式组 $\left\{\begin{array}{l}2 x-y-2 \geq 0, \\ x+2 y-1 \geq 0, \\ 3 x+y-8 \leq 0\end{array}\right.$ 所表示的区域上一动点，则直线 $O M$的斜率的最小值为

7、给定两个命题 $p, q$ ．若 $\neg p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，则 $p$ 是 $\neg q$ 的

8、函数 $y=x \cos x+\sin x$ 的图象大致为

9、过点 $(3,1)$ 作圆 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，则直线 $A B$ 的方程为

10、用 $0,1, \ldots, 9$ 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为

11、抛物线 $C_{1}: y=\frac{1}{2 p} x^{2}(p>0)$ 的焦点与双曲线 $C_{2}: \frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ 的右焦点的连线交 $C_{1}$ 于第一象限的点 $M$ ．若 $C_{1}$ 在点 $M$ 处的切线平行于 $C_{2}$ 的一条渐近线，则 $p=$

12、设正实数 $x, y, z$ 满足 $x^{2}-3 x y+4 y^{2}-z=0$ ．则当 $\frac{x y}{z}$ 取得最大值时，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}$ 的最大值为

13、执行右图所示的程序框图，若输入 $c$ 的值为 0.25 ，则输出的 $n$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

14、在区间 $[-3,3]$ 上随机取一个数 $x$ ，
使得 $|x+1|+|x-2| \geq 1$ 成立的概率为 $\_\_\_\_$ ．

15、已知向量 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，
且 $\overrightarrow{A B}=3, \overrightarrow{A C}=2$ ．若 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$ ，且 $\overrightarrow{A P} \perp \overrightarrow{B C}$ ，则实数 $\lambda$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

16、定义＂正对数＂： $\ln ^{+} x=\left\{\begin{array}{ll}0, & 0<x<1, \\ \ln x, & x \geq 1 .\end{array}\right.$ 现有四个命题：
①若 $a>0, b>0$ ，则 $\ln ^{+}\left(a^{b}\right)=b \ln ^{+} a$ ；
②若 $a>0, b>0$ ，则 $\ln ^{+}(a b)=\ln ^{+} a+\ln ^{+} b$ ；
③若 $a>0, b>0$ ，则 $\ln ^{+}\left(\frac{a}{b}\right) \geq \ln ^{+} a-\ln ^{+} b$ ；

④若 $a>0, b>0$ ，则 $\ln ^{+}(a+b) \leq \ln ^{+} a+\ln ^{+} b+\ln 2$ ．
其中的真命题有 $\_\_\_\_$ ．（写出所有真命题的编号）

17、（本小题满分 12 分）
设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a+c=6, b=2, \cos B=\frac{7}{9} .$.
（I）求 $a, c$ 的值；
（II）求 $\sin (A-B)$ 的值．

18、（本小题满分 12 分）

如图所示，在三棱锥 $P-A B Q$ 中，$P B \perp$ 平面 $A B Q$ ，
$B A=B P=B Q, D, C, E, F$ 分别是 $A Q, B Q, A P, B P$

的中点，$A Q=2 B D, P D$ 与 $E Q$ 交于点 $G$ ，
$P C$ 与 $F Q$ 交于点 $H$ ，连接 $G H$ ．
（I）求证：$A B / / G H$ ；
（II）求二面角 $D-G H-E$ 的余弦值。

19、（本小题满分 12 分）

甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是 $\frac{1}{2}$外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 $\frac{2}{3}$ 。假设各局比赛结果相互独立。
（I）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（II）若比赛结果为3： 0 或3： 1 ，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得 1 分。求乙队得分 $X$ 的分布列和数学期望。

20、（本小题满分 12 分）
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4}=4 S_{2}, a_{2 n}=2 a_{n}+1$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $T_{n}+\frac{a_{n}+1}{2^{n}}=\lambda$（ $\lambda$ 为常数）。令 $c_{n}=2 b_{2 n},\left(n \in N^{*}\right)$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $R_{n}$ 。

21、（本小题满分 13 分）
设函数 $f(x)=\frac{x}{e^{2 x}}+c \quad(e=2.71828 \ldots$ 是自然对数的底数，$c \in R)$
（I）求 $f(x)$ 的单调区间、最大值；
（II）讨论关于 $x$ 的方程 $|\ln x|=f(x)$ 根的个数。

22、（本小题满分 13 分）
椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过 $F_{1}$ 且垂直于 $x$ 轴
的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为 1 ．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）点 $P$ 是椭圆 $C$ 上除长轴端点外的任一点，连接 $P F_{1}, P F_{2}$ 。设 $\angle F_{1} P F_{2}$ 的角平分线 $P M$ 交 $C$的长轴于点 $M(m, 0)$ ，求 $m$ 的取值范围；
（III）在（II）的条件下，过点 $P$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ ，使得 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点。设直线第4页｜共20页

$P F_{1}, P F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，若 $k \neq 0$ ，试证明 $\frac{1}{k k_{1}}+\frac{1}{k k_{2}}$ 为定值，并求出这个定值．