2013 上海卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．计算： $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+20}{3 n+13}=$ $\_\_\_\_$

2．设 $m \in R, m^{2}+m-2+\left(m^{2}-1\right) \mathrm{i}$ 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 $m=$ $\_\_\_\_$

2．设m RÎ， 2 22 ( 1)im m m+ - + -是纯虚数，其中i是虚数单位，则 ________$m=$

3．若 $\left|\begin{array}{cc}x^{2} & y^{2} \\ -1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}x & x \\ y & -y\end{array}\right|$ ，则 $x+y=$ $\_\_\_\_$

3．若
$2 21 1x xx yy y=--$
，则 ______$x y+ =$

4．已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角 $\mathrm{A} , \mathrm{~B} , \mathrm{C}$ 所对应边分别为 $a , \mathrm{~b} , \mathrm{c}$ ，若 $3 a^{2}+2 a b+3 b^{2}-3 c^{2}=0$ ，则角 C 的大小是 $\_\_\_\_$ （结果用反三角函数值表示）

5．设常数 $a \in R$ ，若 $\left(x^{2}+\frac{a}{x}\right)^{5}$ 的二项展开式中 $x^{7}$ 项的系数为 -10 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$

6．方程 $\frac{3}{3^{x}-1}+\frac{1}{3}=3^{x-1}$ 的实数解为 $\_\_\_\_$

7．在极坐标系中，曲线 $\rho=\cos \theta+1$ 与 $\rho \cos \theta=1$ 的公共点到极点的距离为 $\_\_\_\_$

8．盒子中装有编号为 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 $\_\_\_\_$ （结果用最简分数表示）

9．设 AB 是椭圆 $\Gamma$ 的长轴，点 C 在 $\Gamma$ 上，且 $\angle C B A=\frac{\pi}{4}$ ，若 $\mathrm{AB}=4, B C=\sqrt{2}$ ，则 $\Gamma$ 的两个焦点之间的距离为 $\_\_\_\_$

10．设非零常数 d 是等差数列 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{19}$ 的公差，随机变量 $\xi$ 等可能地取值 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{19}$ ，则方差 $D \xi=$ $\_\_\_\_$

11．若 $\cos x \cos y+\sin x \sin y=\frac{1}{2}, \sin 2 x+\sin 2 y=\frac{2}{3}$ ，则 $\sin (x+y)=$ $\_\_\_\_$

12．设 $a$ 为实常数，$y=f(x)$ 是定义在 R 上的奇函数，当 $x<0$ 时，$f(x)=9 x+\frac{a^{2}}{x}+7$ ，若 $f(x) \geq a+1$ 对一切 $x \geq 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$

13．在 $x O y$ 平面上，将两个半圆弧 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(x \geq 1)$和 $(x-3)^{2}+y^{2}=1(x \geq 3)$ 、两条直线 $y=1$ 和 $y=-1$ 围成的封闭图形记为 D ，如图中阴影部分。记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 $\Omega$ ，过 $(0, y)(|y| \leq 1)$ 作 $\Omega$ 的水平截面，所得截面面积为 $4 \pi \sqrt{1-y^{2}}+8 \pi$ ，试利用祖晅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 $\Omega$ 的体积值为 $\_\_\_\_$

14．对区间 I 上有定义的函数 $g(x)$ ，记 $g(I)=\{y \mid y=g(x), x \in I\}$ ，已知定义域为 $[0,3]$ 的函数 $y=f(x)$ 有反函数 $y=f^{-1}(x)$ ，且 $f^{-1}([0,1))=[1,2), f^{-1}((2,4])=[0,1)$ ，若方程 $f(x)-x=0$ 有解 $x_{0}$ ，则 $x_{0}=$ $\_\_\_\_$

15．设常数 $a \in R$ ，集合 $A=\{x \mid(x-1)(x-a) \geq 0\}, B=\{x \mid x \geq a-1\}$ ，若 $A \cup B=R$ ，则 $a$ 的取值范围为（ ）

16．钱大姐常说＂便宜没好货＂，她这句话的意思是：＂不便宜＂是＂好货＂的（）

17．在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{n}=2^{n}-1$ ，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素
$a_{i, j}=a_{i} \cdot a_{j}+a_{i}+a_{j}, \quad(i=1,2, \cdots, 7 ; j=1,2, \cdots, 12) \quad$ 则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为

18．在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \overrightarrow{a_{3}}, \overrightarrow{a_{4}}, \overrightarrow{a_{5}}$ ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\vec{d}_{1}, \overrightarrow{d_{2}}, \overrightarrow{d_{3}}, \overrightarrow{d_{4}}, \overrightarrow{d_{5}}$ 。若 $m, M$ 分别为 $\left(\overrightarrow{a_{i}}+\overrightarrow{a_{j}}+\overrightarrow{a_{k}}\right) \cdot\left(\overrightarrow{d_{r}}+\overrightarrow{d_{s}}+\overrightarrow{d_{t}}\right)$ 的最小值、最大值，其中 $\{i, j, k\} \subseteq\{1,2,3,4,5\}$ ， $\{r, s, t\} \subseteq\{1,2,3,4,5\}$ ，则 $m, M$ 满足（ ）。

19．（本题满分12分）如图，在长方体ABCD－
$\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 中， $\mathrm{AB}=2, \mathrm{AD}=1, \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~A}=1$ ，证明直线 $\mathrm{BC}_{1}$ 平行于平面 $\mathrm{DA}_{1} \mathrm{C}$ ，并求直线 $\mathrm{BC}_{1}$ 到平面 $\mathrm{D}_{1} \mathrm{AC}$ 的距离．

20．（6分＋8分）甲厂以 x 千克／小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 $1 \leq x \leq 10$ ），每小时可获得利润是 $100\left(5 x+1-\frac{3}{x}\right)$ 元。
（1）要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围；
（2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．

21．（6分 +8 分）已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x)$ ，其中常数 $\omega>0$ ；
（1）若 $y=f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递增，求 $\omega$ 的取值范围；

（2）令 $\omega=2$ ，将函数 $y=f(x)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 $y=g(x)$ 的图像，区间 $[a, b](a, b \in R$ 且 $a<b)$ 满足：$y=g(x)$ 在 $[a, b]$ 上至少含有 30 个零点，在所有满足上述条件的 $[a, b]$ 中，求 $b-a$ 的最小值．

22．（3分 +5 分 +8 分）如图，已知曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$ ，曲线
$C_{2}:|y|=|x|+1, \mathrm{P}$ 是平面上一点，若存在过点 P 的直线与 $C_{1}, C_{2}$ 都有公共点，则称 P 为＂ $\mathrm{C}_{1}-\mathrm{C}_{2}$ 型点＂。
（1）在正确证明 $C_{1}$ 的左焦点是＂ $\mathrm{C}_{1}$ —
$\mathrm{C}_{2}$ 型点＂时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

②设直线 $y=k x$ 与 $C_{2}$ 有公共点，求证 $|k|>1$ ，进而证明原点不是＂ $\mathrm{C}_{1}-\mathrm{C}_{2}$ 型点＂；
（3）求证：圆 $x^{2}+y^{2}=\frac{1}{2}$ 内的点都不是＂ $\mathrm{C}_{1}-\mathrm{C}_{2}$ 型点＂．

23．（3 分 +6 分 +9 分）给定常数 $c>0$ ，定义函数 $f(x)=2|x+c+4|-|x+c|$ ，数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots$ 满足 $a_{n+1}=f\left(a_{n}\right), n \in N^{*}$ ．
（1）若 $a_{1}=-c-2$ ，求 $a_{2}$ 及 $a_{3}$ ；（2）求证：对任意 $n \in N^{*}, a_{n+1}-a_{n} \geq c$ ，；
（3）是否存在 $a_{1}$ ，使得 $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{n}, \cdots$ 成等差数列？若存在，求出所有这样的 $a_{1}$ ，若不存在，说明理由．