2013 北京卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5 分）已知集合 $\mathrm{A}=\{-1,0,1\}, \mathrm{B}=\{\mathrm{x} \mid-1 \leqslant \mathrm{x}<1\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$（）

2．（5 分）设 $a, b, c \in R$ ，且 $a>b$ ，则（ ）

3．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递减的是

3． （5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）
A．B．$y=e$ ﹣x C．$y=lg|x|D$．$y=$﹣x 2+1

4．（5分）在复平面内，复数 $i(2-i)$ 对应的点位于

5． （5分）在△ABC中，$a=3$，$b=5$，$sinA=$，则$sinB=$（　　）
A．B．C．D．1

5．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，$a=3, b=5, \sin A=\frac{1}{3}$ ，则 $\sin B=()$

6．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（）

7．（5 分）双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$ 的离心率大于 $\sqrt{2}$ 的充分必要条件是（ ）

8．（5 分）如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$P$ 为对角线 $B D_{1}$ 的三等分点，$P$到各顶点的距离的不同取值有（）

9．（5 分）若抛物线 $y^{2}=2 p x$ 的焦点坐标为 $(1,0)$ ，则 $p=$ $\_\_\_\_$ 2 ；准线方程为 $x=-1$ ．

10．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 $\_\_\_\_$ 3 ．

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

11．（5 分）若等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}+a_{5}=40$ ，则公比 $q=$ $\_\_\_\_$ 2 ；前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=$ $\_\_\_\_$ $2^{\mathrm{n}+1}-2$。

12．（5 分）设 $D$ 为不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 0 \\ 2 x-y \leqslant 0 \text { 表示的平面区域，区域 } D \text { 上的点与点 } \\ x+y-3 \leqslant 0\end{array}\right. (1,0)$ 之间的距离的最小值为 $-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

13．（5 分）函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\log _{\frac{1}{2}} x, x \geqslant 1 \\ 2^{x}, x<1\end{array}\right.$ 的值域为 $(-\infty, 2)$ ．

14．（5 分）已知点 $A(1,-1), B(3,0), C(2,1)$ ．若平面区域 $D$ 由所有满足 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mu \overrightarrow{\mathrm{AC}}(1 \leqslant \lambda \leqslant 2,0 \leqslant \mu \leqslant 1)$ 的点 P 组成，则 D 的面积为 $\_\_\_\_$ 3。

15．（13 分）已知函数 $f(x)=\left(2 \cos ^{2} x-1\right) \sin 2 x+\frac{1}{2} \cos 4 x$ ．
（1）求 $f(x)$ 的最小正周期及最大值；
（2）若 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ，且 $f(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $\alpha$ 的值。

16．（13分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图。空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染。某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天。

（I）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（II）求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率；
（III）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

17．（13 分）如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$A B / / C D, A B \perp A D, C D=2 A B$ ，平面 $P A D \perp$ 底面 $A B C D, P A \perp A D$ ．$E$ 和 $F$ 分别是 $C D$ 和 $P C$ 的中点，求证：
（ I ）$P A \perp$ 底面 $A B C D$ ；
（ II ） $\mathrm{BE} / /$ 平面 PAD ；
（III）平面 $\mathrm{BEF} \perp$ 平面 PCD ．

18．（13 分）已知函数 $f(x)=x^{2}+x \sin x+\cos x$ ．
（I）若曲线 $y=f(x)$ 在点（ $a, f(a)$ ）处与直线 $y=b$ 相切，求 $a$ 与 $b$ 的值；
（II）若曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}$（ x ）与直线 $\mathrm{y}=\mathrm{b}$ 有两个不同交点，求 b 的取值范围．

19．（14 分）直线 $y=k x+m(m \neq 0)$ 与椭圆W：$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 相交于 $A, C$ 两点，$O$ 是坐标原点．
（I）当点 B 的坐标为 $(0,1)$ ，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长；
（II）当点 $B$ 在 $W$ 上且不是 $W$ 的顶点时，证明：四边形 $O A B C$ 不可能为菱形。

20．（14分）给定数列 $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ．对 $\mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{n}-1$ ，该数列前 i 项的最大值记为 $A_{i}$ ，后 $n-i$ 项 $a_{i+1}, a_{i+2}, \ldots, a_{n}$ 的最小值记为 $B_{i}, d_{i}=A_{i}-B_{i}$ ．
（I）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为3，4，7，1，写出 $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ 的值；
（II）设 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}(n \geqslant 4)$ 是公比大于 1 的等比数列，且 $a_{1}>0$ ．证明： $\mathrm{d}_{1}, \mathrm{~d}_{2}, \ldots, \mathrm{~d}_{\mathrm{n}-1}$ 是等比数列；
（III）设 $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n-1}$ 是公差大于 0 的等差数列，且 $d_{1}>0$ ．证明：$a_{1}$ ， $a_{2}, \ldots, a_{n-1}$ 是等差数列．