2013 新课标 II 卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知集合 $M=\{x \mid-3<x<1, x \in R\}, N=\{-3,-2,-1,0,1\}$ ，则 $\mathrm{M} \cap \mathrm{N}=$

2．（5分）$\left|\frac{2}{1+\mathrm{i}}\right|=$

3．（5分）设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y+1 \geqslant 0 \\ x+y+1 \geqslant 0, \\ x \leqslant 3\end{array}\right.$ 则 $z=2 x-3 y$ 的最小值是

4．（5分）$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b=2, B=\frac{\pi}{6}, C= \frac{\pi}{4}$ ，则 $\triangle A B C$ 的面积为

5．（5分）设栯圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}, P$ 是C上的点 $P F_{2} \perp F_{1} F_{2}, \angle P F_{1} F_{2}=30^{\circ}$ ，则 $C$ 的离心率为

6．（5分）已知 $\sin 2 \alpha=\frac{2}{3}$ ，则 $\cos ^{2}\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$（ ）

7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的 $\mathrm{N}=4$ ，那么输出的 $\mathrm{S}=$（ ）

8．（5分）设 $a=\log _{3} 2, b=\log _{5} 2, c=\log _{2} 3$ ，则（

9．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 $0-x y z$ 中的坐标分别是（ 1,0 ，1）$(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)$ ，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）

10．（5分）设抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线过 $F$ 且与 $C$ 交于 $A$ ，$B$ 两点．若 $\mid A F|=3| B F \mid$ ，则 $I$ 的方程为（ ）

11．（5分）已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ，下列结论中错误的是（）

12．（5分）若存在正数 x 使 $2^{\mathrm{x}}(\mathrm{x}-\mathrm{a})<1$ 成立，则 a 的取值范围是（ ）

13．（4分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 $\_\_\_\_$

0.2

14．（4分）已知正方形 ABCD 的边长为2， E 为 CD 的中点，则 $\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=$ $\_\_\_\_$ ．

15．（4分）已知正四棱锥 $\mathrm{O}-\mathrm{ABCD}$ 的体积为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，底面边长为 $\sqrt{3}$ ，则以 O 为球心，$O A$ 为半径的球的表面积为 $\_\_\_\_$ $24 \pi$ ．

16．（4分）函数 $y=\cos (2 x+\phi)(-\pi \leq \phi<\pi)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位后，与函数 $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象重合，则 $\phi=\underline{\frac{5 \pi}{6}}$ —。

17．（12分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差不为零，$a_{1}=25$ ，且 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列。
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求 $a_{1}+a_{4}+a_{7}+\ldots+a_{3 n-2}$ 。

18．（12分）如图，直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$D, E$ 分别是 $A B, B B_{1}$ 的中点
（ I ）证明： $\mathrm{BC}_{1} \|$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{CD}$ ；
（II）$A A_{1}=A C=C B=2, A B=2 \sqrt{2}$ ，求三棱锥 $C-A_{1} D E$ 的体积。

19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 号损 300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品．以X（单位： $\mathrm{t}, 100 \leq \mathrm{X} \leq 150$ ）表示下一个销售季度内的市场需求量， T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

（I）将 T 表示为 X 的函数；
（II）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率．

20．（12分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 $2 \sqrt{2}$ ，在 $y$ 轴上截得线段长为 $2 \sqrt{3}$ ．
（I）求圆心 P 的轨迹方程；
（II）若 P 点到直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求圆 P 的方程．

21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{2} e^{-x}$
（I）求 $f(x)$ 的极小值和极大值；
（II）当曲线 $y=f(x)$ 的切线 $I$ 的斜率为负数时，求 $I$ 在 $x$ 轴上截距的取值范围．

22．【选修4－1几何证明选讲】
如图，$C D$ 为 $\triangle A B C$ 外接圆的切线，$A B$ 的延长线交直线 $C D$ 于点 $D, E , F$ 分别为弦 $A B$与弦 $A C$ 上的点，且 $B C \cdot A E=D C \cdot A F, B , E , F , C$ 四点共圆．
（1）证明：$C A$ 是 $\triangle A B C$ 外接圆的直径；

（2）若 $D B=B E=E A$ ，求过 $B , E , F , C$ 四点的圆的面积与 $\triangle A B C$ 外接圆面积的比值

23．已知动点 $P$ 、 $Q$ 都在曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \beta \\ y=2 \sin \beta\end{array}\right.$（ $\beta$ 为参数）上，对应参数分别为 $\beta= \alpha$ 与 $\beta=2 \alpha(0<\alpha<2 \pi), \mathrm{M}$ 为 PQ 的中点。
（1）求 M 的轨迹的参数方程；
（2）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 $\alpha$ 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点

24．（14分）【选修4－－5；不等式选讲】
设 $a, b, c$ 均为正数，且 $a+b+c=1$ ，证明：
（I）$a b+b c+c a \leqslant \frac{1}{3}$
（II）$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geqslant 1$ ．