2013 新课标 II 卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知集合 $M=\left\{x \mid(x-1)^{2}<4, x \in R\right\}, N=\{-1,0,1,2,3\}$ ，则 $M$ n $\mathrm{N}=$

2．（5分）设复数 $z$ 满足 $(1-i) z=2 i$ ，则 $z=$

3．（5分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{3}=a_{2}+10 a_{1}, a_{5}=9$ ，则 $a_{1}=$（

4．（5分）已知 $m$ ，$n$ 为异面直线，$m \perp$ 平面 $\alpha, n \perp$ 平面 $\beta$ ．直线 $k$ 满足 $|\perp m,| \perp n$ ，$I \not \subset \alpha$ ，$I \not \subset \beta$ ，则（ ）

5．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则$a=$（　　）

5．（5分）已知 $(1+\mathrm{ax})(1+\mathrm{x})^{5}$ 的展开式中 $\mathrm{x}^{2}$ 的系数为5，则 $\mathrm{a}=$（ ）

6．（5分）执行右面的程序框图，如果输入的 $\mathrm{N}=10$ ，那么输出的 $\mathrm{S}=$（ ）

7．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 $0-x y z$ 中的坐标分别是（ 1,0 $, 1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)$ ，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）

8．（5分）设 $a=\log _{3} 6, b=\log _{5} 10, c=\log _{7} 14$ ，则（ ）

9．（5分）已知 $a>0$ ，实数 $x, y$ 满足：$\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 1 \\ x+y \leqslant 3 \\ y \geqslant a(x-3)\end{array}\right.$ ，若 $z=2 x+y$ 的最小值为 1 ，则 $\mathrm{a}=$（ ）

10．（5分）已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ，下列结论中错误的是（ ）

11．（5分）设抛物线C：$y^{2}=2 p x ~(p>0) ~$ 的焦点为F，点M在C上，$|M F|=5$ ，若以 $M F$ 为直径的圆过点（ 0,2 ），则 $C$ 的方程为

12．（5分）已知点 $A(-1,0), B(1,0), C(0,1)$ ，直线 $y=a x+b(a>0$ ）将 $\triangle \mathrm{ABC}$ 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是（）

13．（5分）已知正方形 ABCD 的边长为 2 ， E 为 CD 的中点，则 $\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=$ $\_\_\_\_$ ．

14．（5分）从 n 个正整数 $1,2, \ldots, \mathrm{n}$ 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概率为 $\frac{1}{14}$ ，则 $\mathrm{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

15．（5分）设 $\theta$ 为第二象限角，若 $\tan \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}$ ，则 $\sin \theta+\cos \theta=-\frac{\sqrt{10}}{5}-$

16．（5分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{10}=0, S_{15}=25$ ，则 $n S_{n}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ －49 ．

17．（12分）$\triangle A B C$ 在内角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a=b \cos C+c \sin B$
（I）求B；
（II）若 $b=2$ ，求 $\triangle A B C$ 面积的最大值．

18．（12分）如图，直棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$D, E$ 分别是 $A B, B B_{1}$ 的中点，$A A_{1}= A C=C B=\frac{\sqrt{2}}{2} A B$.
（ I ）证明： $\mathrm{BC}_{1} \|$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{CD}$
（II）求二面角 $D-A_{1} C-E$ 的正弦值．

19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 方损 300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进

了 130 t 该农产品．以 x （单位： $\mathrm{t}, ~ 100 \leq \mathrm{x} \leq 150$ ）表示下一个销售季度内的市场需求量， T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

（I）将 T 表示为 x 的函数；
（II）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率；
（III）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 $\mathrm{x} \in$ ［100，110））则取 $\mathrm{x}=105$ ，且 $\mathrm{x}=105$ 的概率等于需求量落入［100，110）的频率，求 T 的数学期望．

20．（12分）平面直角坐标系 $x O y$ 中，过椭圆 $M: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 右焦点的直线 $x+y-\sqrt{3}=0$ 交 $M$ 于 $A$ ，$B$ 两点，$P$ 为 $A B$ 的中点，且 $O P$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ．
（I）求M的方程
（II）$C, D$ 为 $M$ 上的两点，若四边形 $A C B D$ 的对角线 $C D \perp A B$ ，求四边形 $A C B D$ 面积的最大值．

22．（10分）【选修4－1几何证明选讲】
如图，$C D$ 为 $\triangle A B C$ 外接圆的切线，$A B$ 的延长线交直线 $C D$ 于点 $D, E , F$ 分别为弦 $A B$ 与弦 $A C$ 上的点，且 $B C \bullet A E=D C \bullet A F, B , E , F , C$ 四点共圆。
（1）证明：$C A$ 是 $\triangle A B C$ 外接圆的直径；
（2）若 $D B=B E=E A$ ，求过 $B , E , F , C$ 四点的圆的面积与 $\triangle A B C$ 外接圆面积的比值

23．已知动点 $P , Q$ 都在曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \beta \\ y=2 \sin \beta\end{array}\right.$（ $\beta$ 为参数）上，对应参数分别为 $\beta= \alpha$ 与 $\beta=2 \alpha(0<\alpha<2 \pi), \mathrm{M}$ 为 PQ 的中点。
（1）求 $M$ 的轨迹的参数方程；
（2）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 $\alpha$ 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点

24．【选修4－－5；不等式选讲】
设 $a, b$ ，c均为正数，且 $a+b+c=1$ ，证明：
（I）$a b+b c+c a \leqslant \frac{1}{3}$
（II）$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geqslant 1$ ．